Esercizi svolti · Scheda 1

Convergenza puntuale di successioni di funzioni

Teoria usata: Successione di funzioni Convergenza puntuale

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Esercizio 1

Determinare il limite puntuale su $R$ della successione di funzioni

f_{n} (x) = \frac{n x ^{2} + 1}{n} .

f_{n} (x) = x^{2} + \frac{1}{n}

n \to + \infty lim f_{n} (x) = x^{2} + n \to + \infty lim \frac{1}{n} = x^{2}

f (x) = x^{2} per ogni x \in R

Il punto $x$ si tratta come una costante e il limite si calcola nella sola variabile $n$ . Dividendo numeratore e denominatore per $n$ si ottiene $f_{n} (x) = x^{2} + \frac{1}{n}$ , quindi il termine $x^{2}$ non dipende da $n$ e il termine $\frac{1}{n}$ tende a $0$ . Perciò, per ogni $x \in R$ fissato, $f_{n} (x)$ tende a $x^{2}$ , e il limite puntuale è la funzione $f (x) = x^{2}$ .

Esercizio 2

Determinare il limite puntuale su $[0, + \infty)$ della successione di funzioni

f_{n} (x) = \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n}} .

0 \leq x < 1 : x^{n} \to 0, f_{n} (x) = \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n}} \to \frac{0}{1 + 0} = 0

x = 1 : f_{n} (1) = \frac{1}{2} per ogni n

x > 1 : f_{n} (x) = \frac{1}{x ^{- n} + 1} \to \frac{1}{0 + 1} = 1

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 \frac{1}{2} 1 se 0 \leq x < 1 se x = 1 se x > 1

Il comportamento di $x^{n}$ per $n \to + \infty$ dipende dalla base, quindi il limite si calcola distinguendo tre casi. Per $0 \leq x < 1$ la successione geometrica $x^{n}$ tende a $0$ , perciò il rapporto tende a $0$ . Per $x = 1$ ogni $f_{n}$ vale esattamente $\frac{1}{2}$ , quindi il limite è $\frac{1}{2}$ . Per $x > 1$ sia il numeratore sia il denominatore tendono a $+ \infty$ ; dividendo numeratore e denominatore per $x^{n}$ il rapporto si riscrive come $\frac{1}{x ^{- n} + 1}$ , e poiché $x^{- n} \to 0$ il limite è $1$ . Il limite puntuale è una funzione discontinua in $x = 1$ , anche se ogni $f_{n}$ è continua.

Esercizio 3

Determinare il limite puntuale su $R$ della successione di funzioni

f_{n} (x) = (1 + \frac{x}{n})^{n} .

f_{n} (x) = e^{n l n (1 + \frac{x}{n})} per n > ∣ x ∣

n ln (1 + \frac{x}{n}) = x \cdot \frac{ln ( 1 + \frac{x}{n} )}{\frac{x}{n}} n \to + \infty x \cdot 1 = x (x \neq = 0)

n \to + \infty lim f_{n} (x) = e^{x} per ogni x \in R

Per ogni $x$ fissato e per $n > ∣ x ∣$ la base $1 + \frac{x}{n}$ è positiva, quindi la potenza si riscrive in forma esponenziale con $f_{n} (x) = e^{n l n (1 + \frac{x}{n})}$ . L’esponente si riconduce al limite notevole del logaritmo: posta $t = \frac{x}{n}$ , per $n \to + \infty$ si ha $t \to 0$ , quindi $\frac{ln ( 1 + t )}{t} \to 1$ e l’esponente tende a $x$ . Per $x = 0$ ogni $f_{n}$ vale $1 = e^{0}$ , quindi la formula resta valida. Poiché l’esponenziale è una funzione continua, dal limite dell’esponente segue $f_{n} (x) \to e^{x}$ per ogni $x \in R$ .