Punti critici con Hessiana degenere e studio diretto del segno

L’unico punto critico è l’origine. Il determinante della Hessiana è nullo, quindi il criterio non decide e si studia direttamente il segno della differenza $f(x,y)-f(0,0)$. La differenza è la somma dei due termini $x^2$ e $y^4$, entrambi non negativi, perciò è $\ge 0$ in tutto il piano e l’origine è un punto di minimo assoluto, con valore $0$. Il minimo è anche stretto, dato che la somma si annulla soltanto quando $x=0$ e $y=0$ insieme.

Anche qui l’unico punto critico è l’origine e la Hessiana è degenere, con la stessa matrice dell’esercizio precedente: il criterio non distingue le due situazioni, che invece sono diverse. Per lo studio diretto si osserva la restrizione all’asse $y$, che vale $y^3$ e cambia segno attraversando l’origine. Quindi in ogni intorno dell’origine la funzione assume valori sia maggiori sia minori di $f(0,0)=0$, perciò l’origine è un punto di sella. Per escludere un estremo è sufficiente una restrizione su cui il segno della differenza cambia.

Sviluppando il prodotto si ottiene $f(x,y)=y^2-5x^{2}y+4x^4$ e il sistema si risolve per sostituzione: dalla seconda equazione $y=\frac{5}{2}{x}^2$, e la prima diventa $-9x^3=0$, quindi l’unico punto critico è l’origine, con Hessiana degenere. La restrizione a una retta qualsiasi per l’origine ha segno positivo vicino a $0$: su $y=mx$ con $m\ne 0$ risulta $f(x,mx)=x^2(m-x)(m-4x)$, che per $x$ piccolo si comporta come $m^2{x}^2>0$, e sull’asse $x$ risulta $f(x,0)=4x^4>0$. Le rette da sole suggerirebbero un minimo, ma la conclusione è un’altra: sulla parabola $y=2x^2$, che sta tra le due parabole $y=x^2$ e $y=4x^2$ dove i due fattori hanno segni opposti, la funzione vale $-2x^4<0$, mentre sull’asse $y$ vale $y^2>0$. Quindi in ogni intorno dell’origine la differenza $f(x,y)-f(0,0)$ assume entrambi i segni, perciò l’origine è un punto di sella.