Esercizi svolti · Scheda 1

Integrali doppi su rettangoli

Teoria usata: Integrale doppio su un rettangolo Teorema di riduzione (Fubini) sui rettangoli Funzioni a variabili separate

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Esercizio 1

Calcolare l’integrale doppio

\iint_{R} (x + 3 y^{2}) d x d y, R = [0, 1] \times [0, 2] .

\iint_{R} (x + 3 y^{2}) d x d y = \int_{0}^{1} (\int_{0}^{2} (x + 3 y^{2}) d y) d x

\int_{0}^{2} (x + 3 y^{2}) d y = [x y + y^{3}]_{y = 0}^{y = 2} = 2 x + 8

\int_{0}^{1} (2 x + 8) d x = [x^{2} + 8 x]_{0}^{1} = 1 + 8 = 9

Il dominio è un rettangolo e la funzione è continua, quindi il teorema di Fubini si applica e l’integrale doppio si riduce a due integrali semplici in successione. Nell’integrale interno la variabile $x$ è fissata e si integra rispetto a $y$ : la primitiva di $x + 3 y^{2}$ rispetto a $y$ è $x y + y^{3}$ , perciò l’integrale interno vale $2 x + 8$ . Il risultato è una funzione della sola $x$ , che si integra su $[0, 1]$ e dà $9$ .

Esercizio 2

Calcolare l’integrale doppio

\iint_{R} x e^{x y} d x d y, R = [0, 1] \times [0, 1] .

\iint_{R} x e^{x y} d x d y = \int_{0}^{1} (\int_{0}^{1} x e^{x y} d y) d x

\int_{0}^{1} x e^{x y} d y = [e^{x y}]_{y = 0}^{y = 1} = e^{x} - 1

\int_{0}^{1} (e^{x} - 1) d x = [e^{x} - x]_{0}^{1} = (e - 1) - 1 = e - 2

I due ordini di integrazione danno lo stesso valore, perciò si sceglie quello con i calcoli più semplici. Integrando prima rispetto a $y$ , il fattore $x$ è una costante ed è esattamente la derivata dell’esponente $x y$ rispetto a $y$ , quindi la primitiva di $x e^{x y}$ è $e^{x y}$ e l’integrale interno vale $e^{x} - 1$ . Integrando invece prima rispetto a $x$ servirebbe un’integrazione per parti, poiché $x e^{x y}$ rispetto a $x$ è il prodotto di un polinomio e di un esponenziale. Con la scelta fatta resta l’integrale di $e^{x} - 1$ su $[0, 1]$ , che vale $e - 2$ .

Esercizio 3

Calcolare l’integrale doppio

\iint_{R} \frac{1}{( x + y ) ^{2}} d x d y, R = [0, 1] \times [1, 2] .

\iint_{R} \frac{1}{( x + y ) ^{2}} d x d y = \int_{0}^{1} (\int_{1}^{2} \frac{1}{( x + y ) ^{2}} d y) d x

\int_{1}^{2} \frac{d y}{( x + y ) ^{2}} = [- \frac{1}{x + y}]_{y = 1}^{y = 2} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}

\int_{0}^{1} (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}) d x = [ln (x + 1) - ln (x + 2)]_{0}^{1} = (ln 2 - ln 3) - (ln 1 - ln 2) = 2 ln 2 - ln 3 = ln \frac{4}{3}

Su $R$ la somma $x + y$ è sempre maggiore o uguale a $1$ , quindi la funzione è continua sul rettangolo e il teorema di Fubini si applica. Nell’integrale interno $x$ è una costante, perciò la primitiva di $\frac{1}{( x + y ) ^{2}}$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{x + y}$ . La valutazione agli estremi dà la differenza $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}$ , che si integra con i logaritmi. Raccogliendo i termini si ottiene $2 ln 2 - ln 3$ , che per le proprietà dei logaritmi è $ln \frac{4}{3}$ .