Esercizi svolti · Scheda 3

Derivate seconde e studio locale della funzione implicita

Teoria usata: Derivata seconda della funzione implicita Studio locale della funzione implicita Teorema di Dini (due variabili)

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

Verificare che l’equazione

x^{2} + y^{3} + y = 3

definisce implicitamente una funzione $y = φ (x)$ vicino al punto $(1, 1)$ e calcolare $φ^{'} (1)$ e $φ^{''} (1)$ .

F (x, y) = x^{2} + y^{3} + y - 3, F (1, 1) = 1 + 1 + 1 - 3 = 0

F_{y} (1, 1) = 3 y^{2} + 1_{(1, 1)} = 4 \neq = 0

2 x + 3 y^{2} y^{'} + y^{'} = 0 ⟹ φ^{'} (1) = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}

2 + 6 y (y^{'})^{2} + (3 y^{2} + 1) y^{''} = 0

2 + 6 \cdot \frac{1}{4} + 4 y^{''} = 0 ⟹ φ^{''} (1) = - \frac{7}{8}

Il punto appartiene alla curva e $F_{y} (1, 1) = 4$ è diverso da zero, quindi il teorema di Dini si applica; poiché $F$ è un polinomio, dunque di classe $C^{2}$ , la funzione implicita è di classe $C^{2}$ . Per le derivate si deriva l’identità $x^{2} + φ (x)^{3} + φ (x) = 3$ rispetto a $x$ : si ottiene $2 x + (3 y^{2} + 1) y^{'} = 0$ , che nel punto dà $2 + 4 φ^{'} (1) = 0$ , perciò $φ^{'} (1) = - \frac{1}{2}$ . Derivando una seconda volta, il termine $3 y^{2} y^{'}$ produce $6 y (y^{'})^{2} + 3 y^{2} y^{''}$ per la regola del prodotto, quindi l’identità diventa $2 + 6 y (y^{'})^{2} + (3 y^{2} + 1) y^{''} = 0$ . Sostituendo $y = 1$ e $y^{'} = - \frac{1}{2}$ si ottiene $2 + \frac{3}{2} + 4 y^{''} = 0$ , da cui $φ^{''} (1) = - \frac{7}{8}$ .

Esercizio 2

Verificare che l’equazione

y^{3} + y + x^{2} - 2 x - 1 = 0

definisce implicitamente una funzione $y = φ (x)$ vicino al punto $(1, 1)$ , e stabilire se $x_{0} = 1$ è un punto di massimo o di minimo locale per $φ$ .

F (x, y) = y^{3} + y + x^{2} - 2 x - 1, F (1, 1) = 1 + 1 + 1 - 2 - 1 = 0

F_{y} (1, 1) = 3 y^{2} + 1_{(1, 1)} = 4 \neq = 0, F_{x} (1, 1) = 2 x - 2_{(1, 1)} = 0

φ^{'} (1) = - \frac{0}{4} = 0

(3 y^{2} + 1) y^{''} + 6 y (y^{'})^{2} + 2 = 0 ⟹ 4 φ^{''} (1) + 0 + 2 = 0

φ^{''} (1) = - \frac{1}{2} < 0 ⟹ x_{0} = 1 punto di massimo locale

Le ipotesi del teorema di Dini sono soddisfatte nel punto, quindi la funzione implicita $φ$ esiste ed è di classe $C^{2}$ , perché $F$ è un polinomio. Poiché $F_{x} (1, 1) = 0$ , la derivata prima $φ^{'} (1) = - \frac{F _{x}}{F _{y}}$ è nulla, perciò $x_{0} = 1$ è un punto stazionario di $φ$ . Per la derivata seconda si deriva due volte l’identità $φ (x)^{3} + φ (x) + x^{2} - 2 x - 1 = 0$ : la prima derivazione dà $(3 y^{2} + 1) y^{'} + 2 x - 2 = 0$ e la seconda dà $6 y (y^{'})^{2} + (3 y^{2} + 1) y^{''} + 2 = 0$ . Nel punto $y^{'} = 0$ , quindi il primo addendo è nullo e resta $4 y^{''} + 2 = 0$ , cioè $φ^{''} (1) = - \frac{1}{2}$ . Dato che la derivata seconda è negativa in un punto stazionario, $x_{0} = 1$ è un punto di massimo locale per la funzione implicita.

Esercizio 3

Verificare che l’equazione

e^{y} + y - x^{2} - 1 = 0

definisce implicitamente una funzione $y = φ (x)$ vicino al punto $(0, 0)$ , studiarne la monotonia e stabilire la natura del punto $x_{0} = 0$ .

F (x, y) = e^{y} + y - x^{2} - 1, F (0, 0) = 1 + 0 - 0 - 1 = 0

F_{y} (x, y) = e^{y} + 1 > 0 per ogni (x, y)

φ^{'} (x) = - \frac{- 2 x}{e ^{y} + 1} = \frac{2 x}{e ^{φ (x)} + 1}

φ^{'} (x) < 0 per x < 0, φ^{'} (x) > 0 per x > 0

e^{y} (y^{'})^{2} + e^{y} y^{''} + y^{''} - 2 = 0 ⟹ 2 φ^{''} (0) - 2 = 0

φ^{''} (0) = 1 > 0 ⟹ x_{0} = 0 punto di minimo

Il punto $(0, 0)$ appartiene alla curva e la derivata $F_{y} = e^{y} + 1$ è positiva in ogni punto del piano, quindi il teorema di Dini si applica e la funzione implicita è definita e di classe $C^{2}$ vicino a $0$ . La formula della derivata prima dà $φ^{'} (x) = \frac{2 x}{e ^{φ (x)} + 1}$ : il denominatore è sempre positivo, perciò il segno di $φ^{'}$ coincide con il segno di $x$ . Dunque $φ$ è decrescente per $x < 0$ e crescente per $x > 0$ , e già da questo $x_{0} = 0$ risulta punto di minimo. La derivata seconda conferma il risultato: derivando due volte l’identità $e^{φ} + φ - x^{2} - 1 = 0$ si ottiene $e^{y} (y^{'})^{2} + (e^{y} + 1) y^{''} - 2 = 0$ , e nel punto, dove $y = 0$ e $y^{'} = 0$ , resta $2 y^{''} - 2 = 0$ , cioè $φ^{''} (0) = 1 > 0$ .