Lunghezze di curve

La curva è regolare, poiché la norma del vettore derivato vale $2$ per ogni $t$ e in particolare non si annulla mai. Nel calcolo della norma si raccoglie $4$ sotto radice e si applica l’identità ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$. L’integrale di una costante sull’intervallo $[0,\pi ]$ è il prodotto della costante per la lunghezza dell’intervallo, quindi $L(\gamma )=2\pi$. Il risultato è la metà della lunghezza $2\pi r=4\pi$ della circonferenza di raggio $2$, in accordo con il fatto che l’intervallo del parametro copre mezzo giro.

La curva è cartesiana, cioè della forma $(t,f(t))$ con $f(t)=t^{3/2}$, quindi la prima componente del vettore derivato vale $1$ e la norma è $\sqrt{1+f^{\prime }(t{)}^2}$ con $f^{\prime }(t)=\frac{3}{2}{t}^{1/2}$. Il quadrato di $\frac{3}{2}{t}^{1/2}$ è $\frac{9}{4}t$, perciò l’integranda è ${\left(1+\frac{9}{4}t\right)}^{1/2}$. Una primitiva si ottiene con la regola della potenza: si aumenta l’esponente a $\frac{3}{2}$, si divide per il nuovo esponente e si divide per la derivata interna $\frac{9}{4}$, da cui il fattore $\frac{4}{9}\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{27}$. In $t=4$ l’argomento vale $1+9=10$ e in $t=0$ vale $1$, quindi la lunghezza è $\frac{8}{27}\left(10\sqrt{10}-1\right)$.

Il vettore derivato ha le prime due componenti di tipo trigonometrico e la terza costante. Nel calcolo della norma, il contributo delle prime due componenti è $9({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)=9$ per l’identità fondamentale, mentre la terza aggiunge $16$; la somma $25$ ha radice $5$. La velocità è quindi costante, perciò la lunghezza è il prodotto $5\cdot 2\pi =10\pi$. Un giro dell’elica è più lungo del giro della sola circonferenza di base, che misura $6\pi$, poiché alla rotazione si somma l’avanzamento in quota.