Esercizi svolti · Scheda 1

Curve regolari e vettore tangente

Teoria usata: Curva regolare Vettore tangente e retta tangente Curva regolare a tratti

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Esercizio 1

Stabilire se la curva

γ (t) = (3 t + 1, t^{2}), t \in [0, 2],

è regolare e calcolare il vettore tangente nel punto $γ (1)$ .

γ^{'} (t) = (3, 2 t)

γ^{'} (t) \neq = (0, 0) per ogni t \in [0, 2]

γ (1) = (4, 1), γ^{'} (1) = (3, 2)

Le componenti $3 t + 1$ e $t^{2}$ sono polinomi, quindi la curva è di classe $C^{1}$ e il vettore derivato si calcola componente per componente. La prima componente di $γ^{'} (t)$ vale $3$ per ogni $t$ , perciò il vettore $γ^{'} (t)$ non è mai nullo e la curva è regolare su tutto $[0, 2]$ . Il vettore tangente nel punto $γ (1) = (4, 1)$ è $γ^{'} (1) = (3, 2)$ .

Esercizio 2

Verificare che l’elica

γ (t) = (cos t, sin t, t), t \in [0, 2 π],

è regolare e calcolare il versore tangente nel punto $γ (π)$ .

γ^{'} (t) = (- sin t, cos t, 1)

∥ γ^{'} (t)∥ = sin^{2} t + cos^{2} t + 1 = 2

γ^{'} (π) = (0, - 1, 1), T (π) = \frac{γ ^{'} ( π )}{2} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

Le componenti sono funzioni di classe $C^{1}$ e il vettore derivato ha terza componente costante uguale a $1$ , quindi $γ^{'} (t)$ non si annulla mai e la curva è regolare. La norma del vettore tangente vale $2$ per ogni $t$ , poiché $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ . Nel punto $γ (π) = (- 1, 0, π)$ il vettore tangente è $γ^{'} (π) = (0, - 1, 1)$ ; dividendo per la norma $2$ si ottiene il versore tangente.

Esercizio 3

Stabilire se la curva

γ (t) = (t^{2}, t^{3}), t \in [- 1, 1],

è regolare oppure regolare a tratti.

γ^{'} (t) = (2 t, 3 t^{2})

γ^{'} (t) = (0, 0) ⟺ {2 t = 0 3 t^{2} = 0 ⟺ t = 0

γ regolare su [- 1, 0] e su [0, 1] ⟹ γ regolare a tratti su [- 1, 1]

La curva è di classe $C^{1}$ perché le componenti sono polinomi. Il vettore derivato si annulla quando entrambe le componenti sono nulle, e il sistema ha come unica soluzione $t = 0$ , che è un punto interno dell’intervallo $[- 1, 1]$ ; quindi la curva non è regolare su $[- 1, 1]$ . Sui due sottointervalli $[- 1, 0]$ e $[0, 1]$ il punto $t = 0$ è un estremo, perciò $γ^{'} (t)$ non si annulla in alcun punto interno dei due tratti e ciascuna restrizione è regolare. La curva è dunque regolare a tratti con la suddivisione $- 1 < 0 < 1$ . Nel punto $γ (0) = (0, 0)$ il sostegno presenta una cuspide: la curva perde la direzione tangente proprio dove la velocità si annulla.