Teoria

Equazioni e disequazioni goniometriche

Seno, coseno e tangente sulla circonferenza goniometrica, le identità che li legano e i metodi risolutivi per ogni tipo di equazione e disequazione goniometrica.

In questa pagina

La circonferenza goniometrica
Le identità
I grafici di seno e coseno
Equazioni elementari
Equazioni riconducibili a elementari
Equazioni di secondo grado in seno o coseno
Equazioni omogenee e lineari
Disequazioni elementari

La circonferenza goniometrica

Circonferenza goniometrica, seno e coseno

La circonferenza goniometrica è la circonferenza di centro l’origine e raggio $1$ . Un angolo $x$ , misurato in radianti a partire dal semiasse positivo delle ascisse in verso antiorario, individua su di essa un punto $P$ , e si pone

cos x = ascissa di P, sin x = ordinata di P .

Poiché $P$ appartiene alla circonferenza di raggio $1$ , valgono $- 1 \leq sin x \leq 1$ e $- 1 \leq cos x \leq 1$ . Aggiungendo $2 π$ all’angolo il punto $P$ non cambia, quindi seno e coseno sono periodici di periodo $2 π$ :

sin (x + 2 π) = sin x, cos (x + 2 π) = cos x .

Per questa periodicità un’equazione goniometrica che ha una soluzione ne ha infinite, e le soluzioni si scrivono come famiglie dipendenti da un intero.

Tangente

tan x = \frac{sin x}{cos x}, per cos x \neq = 0, cio \overset{e}{ˋ} x \neq = \frac{π}{2} + nπ, n \in Z .

La tangente è periodica di periodo $π$ : aggiungendo $π$ all’angolo, seno e coseno cambiano entrambi di segno, quindi il loro rapporto non cambia. Sulla circonferenza goniometrica $tan x$ è l’ordinata del punto in cui la retta per l’origine e per $P$ interseca la retta verticale di equazione $x = 1$ .

Valori notevoli

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$
$sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$0$	$- 1$
$cos x$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$	$0$
$tan x$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	non definita	$0$	non definita

Questi valori, insieme alle simmetrie degli angoli associati, coprono tutti gli angoli notevoli della circonferenza. Le soluzioni delle equazioni goniometriche degli esercizi si esprimono quasi sempre con angoli di questa tabella.

Le identità

Identità fondamentale

Per ogni $x \in R$ vale

sin^{2} x + cos^{2} x = 1.

È il teorema di Pitagora applicato al triangolo di cateti $∣ cos x ∣$ e $∣ sin x ∣$ e ipotenusa il raggio $1$ . Serve per passare da una funzione all’altra: noto $sin x$ , il valore di $cos x$ è determinato a meno del segno, e il segno si legge dal quadrante in cui sta l’angolo. Nelle equazioni permette di scrivere $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ , e con questa sostituzione un’equazione che contiene entrambe le funzioni si riduce a una sola.

Esempio

Se $sin x = \frac{3}{5}$ e $x$ appartiene al secondo quadrante, allora $cos^{2} x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ . Nel secondo quadrante il coseno è negativo, quindi $cos x = - \frac{4}{5}$ .

Angoli associati

Per ogni $x \in R$ :

$sin (- x) = - sin x$ e $cos (- x) = cos x$ ;
$sin (π - x) = sin x$ e $cos (π - x) = - cos x$ ;
$sin (π + x) = - sin x$ e $cos (π + x) = - cos x$ ;
$sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ e $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ .

Seguono dalle simmetrie della circonferenza goniometrica rispetto agli assi e alla bisettrice del primo quadrante. Permettono di ricondurre ogni angolo al primo quadrante e di trasformare un coseno in un seno, ad esempio nelle equazioni del tipo $sin A = cos B$ . Dalla seconda riga segue $cos \frac{5 π}{6} = cos (π - \frac{π}{6}) = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}$ .

Formule di addizione e duplicazione

Per ogni $a, b \in R$ :

sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b, cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b .

Ponendo $b = a$ nelle formule con il segno più si ottengono le formule di duplicazione:

sin 2 a = 2 sin a cos a, cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a = 1 - 2 sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1.

Le due forme alternative di $cos 2 a$ seguono dall’identità fondamentale e servono quando un’equazione contiene $cos 2 x$ insieme a $sin x$ oppure a $cos x$ : la forma giusta la trasforma in un’equazione di secondo grado in una sola funzione.

Esempio

Con la formula di sottrazione del coseno:

cos \frac{π}{12} = cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = cos \frac{π}{3} cos \frac{π}{4} + sin \frac{π}{3} sin \frac{π}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2 + 6}{4} .

I grafici di seno e coseno

Osservazione

Il grafico del seno è la sinusoide: in un periodo parte da $0$ , sale fino a $1$ in $\frac{π}{2}$ , torna a $0$ in $π$ , scende fino a $- 1$ in $\frac{3 π}{2}$ e risale a $0$ in $2 π$ . Il grafico del coseno ha la stessa forma, traslato di $\frac{π}{2}$ verso sinistra, poiché $cos x = sin (x + \frac{π}{2})$ .

y = sin x su due periodi

y = cos x su due periodi

Dal grafico si leggono le soluzioni delle equazioni elementari: per $∣ k ∣ < 1$ la retta orizzontale $y = k$ interseca la sinusoide in due punti per ogni periodo, quindi le soluzioni formano due famiglie.

Equazioni elementari

Sia $k \in R$ e sia $n \in Z$ .

$sin x = k$ con $∣ k ∣ \leq 1$ : detto $α$ un angolo con $sin α = k$ , le soluzioni sono

x = α + 2 nπ oppure x = π - α + 2 nπ .

$cos x = k$ con $∣ k ∣ \leq 1$ : detto $α$ un angolo con $cos α = k$ , le soluzioni sono

x = α + 2 nπ oppure x = - α + 2 nπ .

$tan x = k$ , per ogni $k \in R$ : detto $α$ un angolo con $tan α = k$ , le soluzioni sono

x = α + nπ .

$sin x = k$ e $cos x = k$ con $∣ k ∣ > 1$ non hanno soluzioni, poiché seno e coseno assumono soltanto valori compresi tra $- 1$ e $1$ .

Sulla circonferenza goniometrica: i punti di ordinata $k$ sono i due punti di angoli $α$ e $π - α$ , simmetrici rispetto all’asse delle ordinate; i punti di ascissa $k$ sono i due punti di angoli $α$ e $- α$ , simmetrici rispetto all’asse delle ascisse. La tangente ha periodo $π$ , perciò le sue soluzioni distano mezzo giro l’una dall’altra.

Tre equazioni elementari

$sin x = \frac{3}{2}$ : dalla tabella $α = \frac{π}{3}$ , quindi $x = \frac{π}{3} + 2 nπ$ oppure $x = \frac{2 π}{3} + 2 nπ$ .
$cos x = - \frac{1}{2}$ : un angolo con questo coseno è $α = \frac{2 π}{3}$ , quindi $x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 nπ$ .
$tan x = 1$ : $α = \frac{π}{4}$ , quindi $x = \frac{π}{4} + nπ$ .

Equazioni riconducibili a elementari

Uguaglianza di due seni o di due coseni

Per $n \in Z$ :

$sin A = sin B$ se e solo se $A = B + 2 nπ$ oppure $A = π - B + 2 nπ$ ;
$cos A = cos B$ se e solo se $A = B + 2 nπ$ oppure $A = - B + 2 nπ$ .

Le alternative sono le stesse delle equazioni elementari: due angoli hanno lo stesso seno quando coincidono a meno di giri oppure sono supplementari a meno di giri, lo stesso coseno quando coincidono oppure sono opposti a meno di giri. Un’equazione del tipo $sin A = cos B$ si porta in questa forma con gli angoli associati, scrivendo $cos B = sin (\frac{π}{2} - B)$ .

Esempio

$sin 2 x = sin (x + \frac{π}{3})$ . Le due alternative sono

2 x = x + \frac{π}{3} + 2 nπ oppure 2 x = π - x - \frac{π}{3} + 2 nπ,

quindi dalla prima $x = \frac{π}{3} + 2 nπ$ , e dalla seconda $3 x = \frac{2 π}{3} + 2 nπ$ , cioè $x = \frac{2 π}{9} + \frac{2 nπ}{3}$ .

Equazioni di secondo grado in seno o coseno

Un’equazione della forma $a sin^{2} x + b sin x + c = 0$ si risolve con la sostituzione $t = sin x$ , che la trasforma nel sistema

{a t^{2} + b t + c = 0 - 1 \leq t \leq 1

Ogni radice $t$ con $∣ t ∣ \leq 1$ dà l’equazione elementare $sin x = t$ ; una radice con $∣ t ∣ > 1$ va scartata, perché la condizione $- 1 \leq t \leq 1$ non è soddisfatta. Lo stesso procedimento vale con $t = cos x$ . Se l’equazione contiene sia $sin^{2} x$ sia $cos x$ , la sostituzione $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ , che segue dall’identità fondamentale, la porta in una sola funzione.

Esempio

$2 cos^{2} x - cos x - 1 = 0$ . Posto $t = cos x$ , l’equazione $2 t^{2} - t - 1 = 0$ ha radici $t = 1$ e $t = - \frac{1}{2}$ , entrambe accettabili. Da $cos x = 1$ segue $x = 2 nπ$ ; da $cos x = - \frac{1}{2}$ segue $x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 nπ$ .

Equazioni omogenee e lineari

Equazioni omogenee di secondo grado

Un’equazione della forma

a sin^{2} x + b sin x cos x + c cos^{2} x = 0

si dice omogenea di secondo grado in seno e coseno. Se $a \neq = 0$ , i punti con $cos x = 0$ non sono soluzioni: per essi $sin^{2} x = 1$ e il primo membro vale $a \neq = 0$ . Si può quindi dividere per $cos^{2} x$ , e si ottiene l’equazione di secondo grado

a tan^{2} x + b tan x + c = 0,

le cui radici danno equazioni elementari nella tangente. Se $a = 0$ si raccoglie $cos x$ e l’equazione si spezza in due fattori.

Metodo dell'angolo aggiunto

Siano $a, b$ non entrambi nulli e $R = a^{2} + b^{2}$ . Esiste un angolo $φ$ tale che

⎩ ⎨ ⎧ cos φ = \frac{a}{R} sin φ = \frac{b}{R}

e per ogni $x$ vale

a sin x + b cos x = R sin (x + φ) .

L’uguaglianza si verifica sviluppando $R sin (x + φ)$ con la formula di addizione del seno. Con questa scrittura l’equazione lineare $a sin x + b cos x = c$ diventa l’equazione elementare $sin (x + φ) = \frac{c}{R}$ , che ha soluzioni se e solo se $∣ c ∣ \leq R$ .

Esempio

$sin x + 3 cos x = 1$ . Qui $R = 1 + 3 = 2$ , e da $cos φ = \frac{1}{2}$ , $sin φ = \frac{3}{2}$ segue $φ = \frac{π}{3}$ . L’equazione diventa $2 sin (x + \frac{π}{3}) = 1$ , cioè $sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ , quindi

x + \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + 2 nπ oppure x + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6} + 2 nπ,

da cui $x = - \frac{π}{6} + 2 nπ$ oppure $x = \frac{π}{2} + 2 nπ$ .

Attenzione

La divisione per un fattore che può annullarsi fa perdere soluzioni. Nell’equazione $sin x cos x = cos x$ il raccoglimento dà $cos x (sin x - 1) = 0$ , con le famiglie $x = \frac{π}{2} + nπ$ (dal primo fattore) e $x = \frac{π}{2} + 2 nπ$ (dal secondo, già comprese nella prima); la divisione per $cos x$ avrebbe lasciato soltanto $sin x = 1$ .

Disequazioni elementari

La disequazione $sin x > k$ con $∣ k ∣ < 1$ si legge sulla circonferenza goniometrica: le soluzioni sono gli angoli il cui punto ha ordinata maggiore di $k$ . Il procedimento su un periodo:

si risolve l’equazione $sin x = k$ su un giro, trovando due angoli;
i due punti corrispondenti dividono la circonferenza in due archi;
l’arco i cui punti hanno ordinata maggiore di $k$ dà l’intervallo delle soluzioni;
la soluzione generale si ottiene aggiungendo $2 nπ$ agli estremi dell’intervallo.

Per $cos x > k$ il procedimento è lo stesso con l’ascissa al posto dell’ordinata. Se $k \geq 1$ la disequazione $sin x > k$ non ha soluzioni, perché il seno non supera $1$ ; se $k < - 1$ ogni $x \in R$ è soluzione.

Esempio

$sin x > \frac{1}{2}$ . Su $[0, 2 π)$ l’equazione $sin x = \frac{1}{2}$ ha soluzioni $\frac{π}{6}$ e $\frac{5 π}{6}$ ; l’arco di ordinata maggiore di $\frac{1}{2}$ è quello superiore, quindi le soluzioni su un periodo sono $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ e la soluzione generale è

\frac{π}{6} + 2 nπ < x < \frac{5 π}{6} + 2 nπ, n \in Z .

Esempio

$cos x > - \frac{2}{2}$ . Su $[0, 2 π)$ l’equazione $cos x = - \frac{2}{2}$ ha soluzioni $\frac{3 π}{4}$ e $\frac{5 π}{4}$ ; l’arco di ascissa maggiore di $- \frac{2}{2}$ è quello che contiene il punto di angolo $0$ , quindi le soluzioni su $[0, 2 π)$ sono $[0, \frac{3 π}{4}) \cup (\frac{5 π}{4}, 2 π)$ e la soluzione generale è

- \frac{3 π}{4} + 2 nπ < x < \frac{3 π}{4} + 2 nπ, n \in Z .

Esercizi svolti su questo argomento

Argomento successivo: Geometria analitica e coniche →