Esercizi svolti · Scheda 2

Equazioni riconducibili a elementari

Teoria usata: Uguaglianza di due seni o di due coseni Angoli associati Equazioni elementari

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

sin 3 x = sin x .

Due angoli hanno lo stesso seno quando coincidono a meno di giri oppure sono supplementari a meno di giri:

3 x = x + 2 nπ oppure 3 x = π - x + 2 nπ .

Dalla prima:

2 x = 2 nπ, x = nπ .

Dalla seconda:

4 x = π + 2 nπ, x = \frac{π}{4} + \frac{nπ}{2} .

Soluzioni: $x = nπ$ oppure $x = \frac{π}{4} + \frac{nπ}{2}$ , con $n \in Z$ .

L’equazione uguaglia due seni, quindi si applicano le due alternative della teoria: gli argomenti coincidono a meno di un numero intero di giri, oppure sono supplementari a meno di giri. Ciascuna alternativa è un’equazione di primo grado in $x$ e si risolve isolando $x$ ; la divisione finale coinvolge anche il termine $2 nπ$ , perciò nella seconda famiglia il passo tra due soluzioni consecutive si riduce a $\frac{π}{2}$ . Una verifica su un valore: per $x = \frac{π}{4}$ si ha $sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2} = sin \frac{π}{4}$ , quindi l’uguaglianza è soddisfatta.

Esercizio 2

Risolvere l’equazione

cos (2 x - \frac{π}{3}) = cos x .

Due angoli hanno lo stesso coseno quando coincidono oppure sono opposti, a meno di giri:

2 x - \frac{π}{3} = x + 2 nπ oppure 2 x - \frac{π}{3} = - x + 2 nπ .

Dalla prima:

x = \frac{π}{3} + 2 nπ .

Dalla seconda:

3 x = \frac{π}{3} + 2 nπ, x = \frac{π}{9} + \frac{2 nπ}{3} .

Soluzioni: $x = \frac{π}{3} + 2 nπ$ oppure $x = \frac{π}{9} + \frac{2 nπ}{3}$ , con $n \in Z$ .

Per il coseno le due alternative sono argomenti uguali oppure opposti, sempre a meno di giri, perché sulla circonferenza goniometrica i punti con la stessa ascissa sono simmetrici rispetto all’asse delle ascisse. La prima alternativa dà subito $x$ portando $x$ a sinistra e $\frac{π}{3}$ a destra; la seconda porta $- x$ a sinistra, quindi si divide per $3$ tutto il secondo membro, compreso il termine con $n$ . Una verifica sulla prima famiglia: per $x = \frac{π}{3}$ l’argomento a sinistra vale $\frac{2 π}{3} - \frac{π}{3} = \frac{π}{3}$ , uguale all’argomento a destra, quindi l’uguaglianza è soddisfatta.

Esercizio 3

Risolvere l’equazione

sin 2 x = cos x .

Con gli angoli associati il coseno si scrive come seno:

cos x = sin (\frac{π}{2} - x),

quindi l’equazione diventa $sin 2 x = sin (\frac{π}{2} - x)$ e le alternative sono

2 x = \frac{π}{2} - x + 2 nπ oppure 2 x = π - (\frac{π}{2} - x) + 2 nπ .

Dalla prima:

3 x = \frac{π}{2} + 2 nπ, x = \frac{π}{6} + \frac{2 nπ}{3} .

Dalla seconda:

2 x = \frac{π}{2} + x + 2 nπ, x = \frac{π}{2} + 2 nπ .

Soluzioni: $x = \frac{π}{6} + \frac{2 nπ}{3}$ oppure $x = \frac{π}{2} + 2 nπ$ , con $n \in Z$ .

L’equazione confronta un seno con un coseno, quindi non è ancora della forma trattata dalla teoria. Con l’angolo associato $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ il secondo membro diventa un seno, e da quel punto si procede con le due alternative consuete. Nella seconda alternativa l’argomento $π - (\frac{π}{2} - x)$ si semplifica in $\frac{π}{2} + x$ , e l’equazione risultante è di primo grado in $x$ .

Lo stesso risultato si ottiene per altra via: con la formula di duplicazione $sin 2 x = 2 sin x cos x$ l’equazione diventa $cos x (2 sin x - 1) = 0$ , da cui $cos x = 0$ , cioè $x = \frac{π}{2} + nπ$ , oppure $sin x = \frac{1}{2}$ , cioè $x = \frac{π}{6} + 2 nπ$ oppure $x = \frac{5 π}{6} + 2 nπ$ . Su un giro entrambe le strade danno gli angoli $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{2}$ , $\frac{5 π}{6}$ e $\frac{3 π}{2}$ , quindi i due insiemi di soluzioni coincidono.