Teoria

Fattorizzazione, Ruffini e divisione tra polinomi

Che cos'è un polinomio, come si sviluppano e si riconoscono i prodotti notevoli, come si esegue la divisione tra polinomi e come si scompone un polinomio in fattori con la regola di Ruffini.

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Polinomi e grado
Prodotti notevoli
Divisione tra polinomi
Teorema del resto e teorema di Ruffini
La regola di Ruffini
Radici razionali
Strategia di fattorizzazione

Polinomi e grado

Polinomio e grado

Un polinomio nella variabile $x$ è una somma di monomi,

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0},

con $a_{n} \neq = 0$ . I numeri $a_{n}, \dots, a_{0}$ sono i coefficienti, $a_{n}$ è il coefficiente direttore, $a_{0}$ è il termine noto e $n$ è il grado, indicato con $de g P$ . Un numero $c$ è una radice di $P$ se $P (c) = 0$ . Il polinomio $P (x) = 2 x^{3} - 5 x + 1$ ha grado $3$ , coefficiente direttore $2$ , termine noto $1$ ; il coefficiente di $x^{2}$ è $0$ .

Principio di identità dei polinomi

Due polinomi sono uguali se e solo se hanno lo stesso grado e gli stessi coefficienti, termine per termine. Il principio permette di determinare coefficienti incogniti uguagliando i coefficienti dei termini dello stesso grado, e con esso si verificano divisioni e scomposizioni. Dall’uguaglianza $x^{2} + b x + c = (x - 1) (x - 3) = x^{2} - 4 x + 3$ segue $b = - 4$ e $c = 3$ .

Osservazione

Nel prodotto di due polinomi i gradi si sommano, quindi $de g (P Q) = de g P + de g Q$ . Per questo un polinomio di grado $4$ scomposto in due fattori di grado positivo ha fattori di gradi $1$ e $3$ oppure $2$ e $2$ .

Prodotti notevoli

Le identità seguenti valgono per ogni valore di $A$ e $B$ e si usano in entrambi i versi, per sviluppare e per scomporre.

Quadrato e cubo di binomio

(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}, (A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}, (A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}, (A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3} .

Letti da destra verso sinistra scompongono: un trinomio è un quadrato di binomio quando due termini sono quadrati e il terzo è il doppio prodotto delle due basi, con il segno del doppio prodotto che decide il segno nel binomio.

Esempio

$(2 x + 3)^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9$ . Nel verso opposto, $x^{2} - 10 x + 25 = (x - 5)^{2}$ , poiché $x^{2}$ e $25$ sono i quadrati di $x$ e $5$ e $- 10 x$ è il doppio prodotto $- 2 \cdot x \cdot 5$ . Per il cubo, $(x + 2)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ .

Differenza di quadrati

A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)

È la scomposizione più rapida da riconoscere: due quadrati separati da un segno meno. Si applica anche più volte di seguito, quando uno dei fattori ottenuti è a sua volta una differenza di quadrati.

Esempio

$9 x^{2} - 16 = (3 x - 4) (3 x + 4)$ . Con due applicazioni successive, $x^{4} - 1 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)$ .

Attenzione

La somma di due quadrati $A^{2} + B^{2}$ non si scompone in fattori di primo grado con coefficienti reali. Per esempio $x^{2} + 4 \geq 4 > 0$ per ogni $x$ , quindi $x^{2} + 4$ non ha radici reali e nessun fattore della forma $x - c$ lo divide.

Somma e differenza di cubi

A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2}), A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})

Il secondo fattore, detto falso quadrato, ha discriminante negativo e non ha radici reali, perciò la scomposizione non prosegue; il criterio con il discriminante si trova nel capitolo sulle equazioni e disequazioni polinomiali.

Esempio

$x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ , con $A = x$ e $B = 2$ . Analogamente $27 x^{3} - 1 = (3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)$ , con $A = 3 x$ e $B = 1$ .

Divisione tra polinomi

Divisione con resto

Dati un dividendo $A (x)$ e un divisore $B (x)$ non nullo, esistono e sono unici un quoziente $Q (x)$ e un resto $R (x)$ tali che

{A (x) = B (x) Q (x) + R (x) R (x) = 0 oppure de g R < de g B

La struttura è la stessa della divisione con resto tra numeri interi. Quando $R (x) = 0$ la divisione è esatta e $B (x)$ divide $A (x)$ , cioè $B$ è un fattore di $A$ ; per questo la divisione è uno strumento di fattorizzazione.

L'algoritmo di divisione, passo per passo

Divisione di $A (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5$ per $B (x) = x^{2} - x + 1$ . Il primo termine del quoziente è il rapporto tra i termini di grado massimo, $\frac{2 x ^{3}}{x ^{2}} = 2 x$ ; si moltiplica il divisore per $2 x$ e si sottrae il prodotto dal dividendo:

2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5 - 2 x (x^{2} - x + 1) = - x^{2} + 2 x - 5.

Il resto parziale $- x^{2} + 2 x - 5$ ha grado $2$ , uguale al grado del divisore, quindi l’algoritmo prosegue sul resto parziale. Il termine successivo del quoziente è $\frac{- x ^{2}}{x ^{2}} = - 1$ :

- x^{2} + 2 x - 5 - (- 1) (x^{2} - x + 1) = x - 4.

Il nuovo resto parziale $x - 4$ ha grado $1$ , minore del grado del divisore, perciò l’algoritmo termina. Quoziente e resto sono $Q (x) = 2 x - 1$ e $R (x) = x - 4$ , cioè

2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5 = (x^{2} - x + 1) (2 x - 1) + x - 4.

Osservazione

Il dividendo si scrive con i gradi in ordine decrescente e i gradi mancanti si contano con coefficiente $0$ . La verifica usa il principio di identità: sviluppando $B (x) Q (x) + R (x)$ si deve ritrovare $A (x)$ , coefficiente per coefficiente.

Teorema del resto e teorema di Ruffini

Teorema del resto

Il resto della divisione di $P (x)$ per $x - c$ è $P (c)$ . Il resto si ottiene quindi con una sola valutazione del polinomio, senza eseguire la divisione. Il resto di $x^{3} - 2 x + 1$ diviso $x - 2$ è $P (2) = 8 - 4 + 1 = 5$ .

Dimostrazione

Per il teorema sulla divisione con resto esistono $Q (x)$ e $R (x)$ tali che $P (x) = (x - c) Q (x) + R (x)$ , con $R (x) = 0$ oppure $de g R < de g (x - c) = 1$ . In entrambi i casi $R (x)$ è una costante $R$ . Valutando l’uguaglianza in $x = c$ si ottiene

P (c) = (c - c) Q (c) + R = 0 + R = R,

perciò il resto coincide con $P (c)$ .

Teorema di Ruffini

Il binomio $x - c$ divide $P (x)$ se e solo se $P (c) = 0$ , cioè se e solo se $c$ è una radice di $P$ . L’enunciato segue dal teorema del resto, poiché la divisione è esatta se e solo se il resto $P (c)$ è nullo. Il teorema collega le radici alla fattorizzazione: ogni radice trovata produce un fattore di primo grado. Per $P (x) = x^{2} - 5 x + 6$ si ha $P (2) = 4 - 10 + 6 = 0$ , quindi $x - 2$ divide $P$ ; infatti $P (x) = (x - 2) (x - 3)$ .

La regola di Ruffini

Regola di Ruffini

La regola di Ruffini è lo schema che esegue la divisione di $P (x)$ per $x - c$ usando solo i coefficienti.

Nella prima riga si scrivono i coefficienti di $P$ in ordine di grado decrescente, con $0$ al posto dei gradi mancanti; il numero $c$ si scrive a sinistra.
Il primo coefficiente si riporta invariato nella riga dei risultati.
L’ultimo numero scritto nella riga dei risultati si moltiplica per $c$ , il prodotto si scrive nella seconda riga sotto il coefficiente successivo e si somma in colonna; la somma scende nella riga dei risultati. Il passo si ripete fino all’ultima colonna.
L’ultimo numero della riga dei risultati è il resto, cioè $P (c)$ ; i numeri che lo precedono sono i coefficienti del quoziente, che ha grado $de g P - 1$ .

Lo schema passo per passo

Divisione di $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ per $x - 1$ , quindi $c = 1$ . Si riporta il primo coefficiente $1$ ; poi $1 \cdot 1 = 1$ e $- 2 + 1 = - 1$ ; poi $- 1 \cdot 1 = - 1$ e $- 5 + (- 1) = - 6$ ; infine $- 6 \cdot 1 = - 6$ e $6 + (- 6) = 0$ .

111 - 2 1 - 1 - 5 - 1 - 6 6 - 6 0

Il quoziente è $x^{2} - x - 6$ e il resto è $0$ , quindi $x - 1$ divide $P$ e

x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = (x - 1) (x^{2} - x - 6) = (x - 1) (x - 3) (x + 2),

dove l’ultima uguaglianza si verifica sviluppando il prodotto $(x - 3) (x + 2) = x^{2} - x - 6$ .

Radici razionali

Ricerca delle radici razionali

Sia $P (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}$ a coefficienti interi, con $a_{0} \neq = 0$ . Se la frazione $\frac{p}{q}$ , ridotta ai minimi termini, è una radice di $P$ , allora $p$ divide il termine noto $a_{0}$ e $q$ divide il coefficiente direttore $a_{n}$ . Il teorema fornisce un elenco finito di candidati; ogni candidato $c$ si prova calcolando $P (c)$ , e per il teorema di Ruffini ogni candidato con $P (c) = 0$ produce il fattore $x - c$ . Quando il coefficiente direttore è $1$ , le eventuali radici razionali sono numeri interi che dividono il termine noto.

Esempio

$P (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 2$ . I divisori del termine noto $2$ sono $\pm 1, \pm 2$ ; i divisori positivi del coefficiente direttore $2$ sono $1, 2$ . I candidati sono quindi $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm \frac{1}{2}$ . Poiché $P (1) = 2 + 1 - 5 + 2 = 0$ , il numero $1$ è una radice e $x - 1$ divide $P$ . Non ogni candidato è una radice: $P (- 1) = - 2 + 1 + 5 + 2 = 6 \neq = 0$ .

Strategia di fattorizzazione

Raccoglimento totale e parziale

Il raccoglimento totale estrae un fattore comune a tutti i termini:

6 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x = 2 x (3 x^{2} - 2 x + 1) .

Il raccoglimento parziale raggruppa i termini e raccoglie un fattore da ciascun gruppo; il metodo si conclude quando i gruppi lasciano lo stesso fattore comune, che si raccoglie a sua volta:

x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6 = x^{2} (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x^{2} + 3) .

Trinomio speciale

x^{2} + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Il trinomio $x^{2} + s x + p$ si scompone con due numeri $a$ e $b$ che soddisfano

{a + b = s a \cdot b = p

Per esempio $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ , poiché $2 + 3 = 5$ e $2 \cdot 3 = 6$ ; analogamente $x^{2} - x - 12 = (x + 3) (x - 4)$ , poiché $3 + (- 4) = - 1$ e $3 \cdot (- 4) = - 12$ .

Strategia di fattorizzazione

La scomposizione di un polinomio procede nell’ordine seguente, e dopo ogni passo riparte dal primo sui fattori ottenuti.

Raccoglimento totale del fattore comune.
Riconoscimento dei prodotti notevoli: quadrato e cubo di binomio, differenza di quadrati, somma e differenza di cubi.
Per i trinomi della forma $x^{2} + s x + p$ , trinomio speciale.
Con quattro o più termini, raccoglimento parziale.
Ricerca delle radici razionali e regola di Ruffini: ogni radice $c$ trovata produce il fattore $x - c$ e abbassa di uno il grado del quoziente.

La scomposizione termina quando ogni fattore ha grado $1$ oppure è un fattore di secondo grado privo di radici reali; il riconoscimento di questi ultimi con il discriminante si trova nel capitolo sulle equazioni e disequazioni polinomiali.

Una fattorizzazione completa

2 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} = 2 x^{2} (x^{2} + x - 6) = 2 x^{2} (x + 3) (x - 2)

Il primo passaggio è il raccoglimento totale di $2 x^{2}$ . Il fattore $x^{2} + x - 6$ è un trinomio speciale, poiché $3 + (- 2) = 1$ e $3 \cdot (- 2) = - 6$ , quindi si scompone in $(x + 3) (x - 2)$ . Tutti i fattori hanno grado al più $1$ , perciò la scomposizione è completa.

Esercizi svolti su questo argomento

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