Esercizi svolti · Scheda 4

Fattorizzazioni complete di polinomi di terzo e quarto grado

Teoria usata: Ricerca delle radici razionali Regola di Ruffini Trinomio speciale Strategia di fattorizzazione

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Esercizio 1

Scomporre completamente $P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ .

P (1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0

111 - 6 1 - 5 11 - 5 6 - 6 60

P (x) = (x - 1) (x^{2} - 5 x + 6) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)

Il coefficiente direttore è $1$ , quindi le eventuali radici razionali sono intere e dividono il termine noto $- 6$ : i candidati sono $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 6$ . Il primo candidato funziona, poiché $P (1) = 0$ , perciò per il teorema di Ruffini $x - 1$ divide $P$ .

Lo schema di Ruffini con $c = 1$ produce il quoziente $x^{2} - 5 x + 6$ con resto $0$ . Il quoziente è un trinomio speciale, dato che $- 2 + (- 3) = - 5$ e $(- 2) \cdot (- 3) = 6$ , quindi si scompone in $(x - 2) (x - 3)$ . Tutti i fattori hanno grado $1$ , perciò la scomposizione è completa.

Esercizio 2

Scomporre completamente $P (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 3$ .

P (1) = 2 + 3 - 8 + 3 = 0

122325 - 8 5 - 3 3 - 3 0

2 x^{2} + 5 x - 3 = 0 : Δ = 25 + 24 = 49, x = \frac{- 5 \pm 7}{4}

P (x) = (x - 1) (2 x^{2} + 5 x - 3) = (x - 1) (2 x - 1) (x + 3)

Il coefficiente direttore è $2$ , quindi i candidati razionali sono i rapporti tra i divisori di $3$ e i divisori di $2$ , cioè $\pm 1$ , $\pm 3$ , $\pm \frac{1}{2}$ , $\pm \frac{3}{2}$ . Poiché $P (1) = 0$ , il binomio $x - 1$ divide $P$ e lo schema di Ruffini fornisce il quoziente $2 x^{2} + 5 x - 3$ .

Il quoziente ha coefficiente direttore diverso da $1$ , quindi si scompone con le sue radici: il discriminante vale $49$ e le radici sono $\frac{- 5 + 7}{4} = \frac{1}{2}$ e $\frac{- 5 - 7}{4} = - 3$ . La scomposizione del trinomio è $2 (x - \frac{1}{2}) (x + 3) = (2 x - 1) (x + 3)$ , dove il fattore $2$ è stato moltiplicato nel primo binomio. La verifica per sviluppo dà $(2 x - 1) (x + 3) = 2 x^{2} + 5 x - 3$ .

Esercizio 3

Scomporre completamente $P (x) = x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - x + 6$ .

P (1) = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0

111112 - 7 2 - 5 - 1 - 5 - 6 6 - 6 0

Sul quoziente $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$ si ha $P_{1} (- 1) = - 1 + 2 + 5 - 6 = 0$ :

- 1 11 2 - 1 1 - 5 - 1 - 6 - 6 60

P (x) = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + x - 6) = (x - 1) (x + 1) (x + 3) (x - 2)

I candidati razionali dividono il termine noto $6$ , poiché il coefficiente direttore è $1$ . Il candidato $1$ è una radice, quindi un primo schema di Ruffini abbassa il grado: $P (x) = (x - 1) (x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6)$ .

La strategia riparte sul quoziente $P_{1} (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$ , i cui candidati dividono $- 6$ . Poiché $P_{1} (- 1) = 0$ , un secondo schema con $c = - 1$ fornisce $P_{1} (x) = (x + 1) (x^{2} + x - 6)$ .

Il trinomio $x^{2} + x - 6$ è speciale, dato che $3 + (- 2) = 1$ e $3 \cdot (- 2) = - 6$ , quindi si scompone in $(x + 3) (x - 2)$ . I quattro fattori hanno grado $1$ , in accordo con il grado $4$ del polinomio di partenza, perciò la scomposizione è completa.