Teoria

Equazioni e disequazioni polinomiali e fratte

Come si risolvono le equazioni di primo e secondo grado, come si abbassa il grado con la fattorizzazione, e come si studiano le disequazioni con il segno della parabola, la tabella dei segni e i sistemi.

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Equazioni di primo grado
Equazioni di secondo grado
Equazioni di grado superiore
Disequazioni di primo grado
Disequazioni di secondo grado
Disequazioni di grado superiore
Disequazioni fratte
Sistemi di disequazioni

Equazioni di primo grado

Equazione di primo grado

L’equazione $a x + b = 0$ con $a \neq = 0$ ha l’unica soluzione

x = - \frac{b}{a} .

A questa forma si arriva con i principi di equivalenza: sommare ai due membri la stessa quantità e moltiplicarli per la stessa quantità diversa da zero producono equazioni con le stesse soluzioni. Per $a = 0$ l’equazione si riduce a $b = 0$ e i casi sono due:

$b \neq = 0$ : nessuna soluzione (equazione impossibile);
$b = 0$ : ogni $x$ è soluzione (identità).

Per esempio $3 (x - 2) + 5 = 2 x$ equivale a $3 x - 1 = 2 x$ , da cui $x = 1$ .

Equazioni di secondo grado

Formula risolutiva

L’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ con $a \neq = 0$ ha discriminante $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Se $Δ \geq 0$ le soluzioni sono

x = \frac{- b \pm Δ}{2 a};

se $Δ < 0$ non esistono soluzioni reali. La formula risolve ogni equazione di secondo grado, perciò ogni equazione polinomiale si considera risolta quando è ridotta a fattori di grado al più due.

Dimostrazione

Poiché $a \neq = 0$ , moltiplicando i due membri per $4 a$ si ottiene l’equazione equivalente $4 a^{2} x^{2} + 4 ab x + 4 a c = 0$ . I primi due termini si completano a un quadrato, dato che $4 a^{2} x^{2} + 4 ab x = (2 a x + b)^{2} - b^{2}$ , quindi l’equazione si riscrive

(2 a x + b)^{2} = b^{2} - 4 a c = Δ.

Se $Δ < 0$ nessun $x$ la soddisfa, perché un quadrato non è mai negativo. Se $Δ \geq 0$ , l’uguaglianza vale quando $2 a x + b = \pm Δ$ , perciò

x = \frac{- b \pm Δ}{2 a} .

Discriminante

Il segno di $Δ = b^{2} - 4 a c$ conta le soluzioni reali:

$Δ > 0$ : due soluzioni reali distinte $x_{1} \neq = x_{2}$ ;
$Δ = 0$ : una soluzione reale doppia $x = - \frac{b}{2 a}$ ;
$Δ < 0$ : nessuna soluzione reale.

Per $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ si ha $Δ = 4 + 12 = 16 > 0$ e le soluzioni sono $x = \frac{2 \pm 4}{2}$ , cioè $3$ e $- 1$ . Per $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ si ha $Δ = 0$ e $x = - 1$ doppia. Per $x^{2} + x + 1 = 0$ si ha $Δ = - 3 < 0$ e nessuna soluzione reale.

Equazioni incomplete

La formula risolutiva si applica anche alle equazioni con $b = 0$ oppure $c = 0$ ; questi casi si risolvono con meno calcoli per via diretta.

Equazione spuria $a x^{2} + b x = 0$ : raccogliendo $x$ si ottiene $x (a x + b) = 0$ , con soluzioni $x = 0$ e $x = - \frac{b}{a}$ .
Equazione pura $a x^{2} + c = 0$ : equivale a $x^{2} = - \frac{c}{a}$ ; se $- \frac{c}{a} > 0$ le soluzioni sono $x = \pm - \frac{c}{a}$ , se $- \frac{c}{a} = 0$ l’unica soluzione è $x = 0$ , se $- \frac{c}{a} < 0$ non ci sono soluzioni reali.

Per esempio $3 x^{2} - 12 = 0$ equivale a $x^{2} = 4$ , quindi $x = \pm 2$ .

Somma e prodotto delle radici

Se $Δ \geq 0$ , le radici $x_{1}$ e $x_{2}$ di $a x^{2} + b x + c = 0$ (eventualmente coincidenti) soddisfano

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a},

e il trinomio si scompone come

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .

Le due uguaglianze seguono dalla formula risolutiva, sommando e moltiplicando le espressioni delle radici. Con esse si trovano a mente le radici intere e si scompongono i trinomi: per $x^{2} - 7 x + 12$ due numeri con somma $7$ e prodotto $12$ sono $3$ e $4$ , quindi le radici sono $3$ e $4$ e il trinomio è $(x - 3) (x - 4)$ .

Equazioni di grado superiore

Legge di annullamento del prodotto

Un prodotto è nullo se e solo se almeno uno dei fattori è nullo:

A \cdot B = 0 ⟺ A = 0 oppure B = 0.

La legge trasforma un’equazione di grado alto in più equazioni di grado basso, perciò la risoluzione passa dalla fattorizzazione. Da $(x - 1) (x + 4) = 0$ segue $x = 1$ oppure $x = - 4$ .

Risoluzione per fattorizzazione

Un’equazione polinomiale $P (x) = 0$ di grado maggiore di due si risolve in tre passi: si porta ogni termine al primo membro, si scompone $P$ con la strategia di fattorizzazione (si rimanda al capitolo sulla fattorizzazione dei polinomi), si applica la legge di annullamento del prodotto a ciascun fattore. Un polinomio di grado $n$ ha al più $n$ radici reali, quindi le soluzioni trovate con una scomposizione completa sono tutte.

Risoluzione con Ruffini

$x^{3} - 3 x + 2 = 0$ . Poiché $P (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ , il binomio $x - 1$ divide $P$ e con la regola di Ruffini si ottiene

x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1) (x^{2} + x - 2) = (x - 1)^{2} (x + 2),

dove $x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)$ è un trinomio speciale. Per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni sono $x = 1$ (doppia) e $x = - 2$ .

Equazioni biquadratiche

Un’equazione biquadratica ha la forma $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ . Con la sostituzione $t = x^{2}$ diventa l’equazione di secondo grado $a t^{2} + b t + c = 0$ . Per ogni soluzione $t_{i}$ si torna alla variabile $x$ risolvendo $x^{2} = t_{i}$ :

se $t_{i} > 0$ , le soluzioni sono $x = \pm t_{i}$ ;
se $t_{i} = 0$ , l’unica soluzione è $x = 0$ ;
se $t_{i} < 0$ , nessun $x$ reale la soddisfa, perché un quadrato non è mai negativo.

Per esempio $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ diventa $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ , con soluzioni $t = 1$ e $t = 4$ , quindi $x = \pm 1$ e $x = \pm 2$ .

Disequazioni di primo grado

Disequazione di primo grado

Una disequazione del tipo $a x + b > 0$ (o con $\geq$ , $<$ , $\leq$ ) si risolve isolando $x$ con due regole: sommare ai due membri la stessa quantità conserva il verso; moltiplicare i due membri per una quantità positiva conserva il verso, per una quantità negativa lo inverte. Le soluzioni formano una semiretta. Da $5 - 2 x > 1$ segue $- 2 x > - 4$ , e dividendo per $- 2$ , con il verso invertito, $x < 2$ .

Disequazioni di secondo grado

Segno del trinomio di secondo grado

Sia $y = a x^{2} + b x + c$ con $a > 0$ e $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Il grafico è una parabola con concavità verso l’alto, e il trinomio è positivo dove la parabola sta sopra l’asse $x$ .

$Δ > 0$ , radici $x_{1} < x_{2}$ : il trinomio è positivo per $x < x_{1}$ oppure $x > x_{2}$ , nullo nelle radici, negativo per $x_{1} < x < x_{2}$ .
$Δ = 0$ , radice doppia $x_{0}$ : il trinomio è positivo per ogni $x \neq = x_{0}$ e nullo in $x_{0}$ .
$Δ < 0$ : il trinomio è positivo per ogni $x$ .

Per $a < 0$ i segni sono gli opposti; in alternativa si moltiplicano i due membri per $- 1$ invertendo il verso, così da ricondursi al caso $a > 0$ .

y = x² − 2x − 3: la parabola sta sopra l'asse x per x < −1 e per x > 3, sotto tra le radici

Esempio

$x^{2} - 2 x - 3 \geq 0$ . Il discriminante è $Δ = 4 + 12 = 16 > 0$ e le radici sono $- 1$ e $3$ . Poiché $a = 1 > 0$ , il trinomio è positivo fuori dall’intervallo delle radici e nullo nelle radici, quindi le soluzioni sono $x \leq - 1$ oppure $x \geq 3$ . Per $x^{2} + x + 1 > 0$ il discriminante è $Δ = - 3 < 0$ e $a > 0$ , quindi ogni $x$ reale è soluzione.

Disequazioni di grado superiore

Tabella dei segni

Una disequazione $P (x) > 0$ (o con $\geq$ , $<$ , $\leq$ ) di grado maggiore di due si studia in tre passi: si porta ogni termine al primo membro, si scompone $P$ in fattori di grado al più due, si studia il segno di ciascun fattore. La tabella dei segni riporta una riga per fattore e una colonna per ciascun intervallo individuato dagli zeri dei fattori; il segno del prodotto su ogni intervallo è il prodotto dei segni della colonna. Con il verso $\geq$ oppure $\leq$ gli zeri di $P$ appartengono alle soluzioni, con il verso $>$ oppure $<$ ne sono esclusi.

Una tabella dei segni

$x^{3} - 4 x > 0$ . La scomposizione è $x (x - 2) (x + 2)$ , con zeri $- 2$ , $0$ , $2$ . Il fattore $x + 2$ è positivo per $x > - 2$ , il fattore $x$ per $x > 0$ , il fattore $x - 2$ per $x > 2$ .

x + 2 x x - 2 x (x + 2) (x - 2) x < - 2 - - - - - 2 < x < 0 + - - + 0 < x < 2 + + - - x > 2 + + + +

Il prodotto è positivo nelle colonne con un numero pari di segni meno, quindi le soluzioni sono $- 2 < x < 0$ oppure $x > 2$ .

Disequazioni fratte

Una disequazione fratta si porta nella forma

\frac{N ( x )}{D ( x )} > 0 (o con \geq, <, \leq)

trasportando ogni termine al primo membro e riducendo allo stesso denominatore. Il segno del quoziente si studia con la tabella dei segni, con una riga per il segno di $N$ e una per il segno di $D$ : il quoziente ha lo stesso segno del prodotto $N \cdot D$ . I punti che annullano il denominatore sono esclusi dalle soluzioni per ogni verso, perché in quei punti la frazione non è definita; con il verso $\geq$ oppure $\leq$ gli zeri del numeratore sono inclusi.

Attenzione

Moltiplicare i due membri per il denominatore ne presuppone il segno, che dipende da $x$ . Da $\frac{1}{x} < 1$ non segue $1 < x$ : il valore $x = - 1$ soddisfa la prima disuguaglianza, poiché $- 1 < 1$ , e non la seconda. Le soluzioni corrette sono $x < 0$ oppure $x > 1$ , e si ottengono dalla tabella dei segni di $\frac{1 - x}{x}$ .

Esempio

$\frac{x + 2}{x - 1} \leq 0$ . Il numeratore è positivo per $x > - 2$ e nullo in $- 2$ ; il denominatore è positivo per $x > 1$ . Il quoziente è negativo dove i segni sono discordi, cioè per $- 2 < x < 1$ . Il verso $\leq$ include lo zero del numeratore ed esclude quello del denominatore, quindi le soluzioni sono $- 2 \leq x < 1$ .

Sistemi di disequazioni

Sistema di disequazioni

Un sistema raccoglie disequazioni che devono valere contemporaneamente, perciò le sue soluzioni sono l’intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole disequazioni. Ogni disequazione si risolve separatamente; poi le soluzioni si rappresentano sulla stessa retta reale e si prendono gli intervalli comuni a tutte.

Esempio

{x^{2} - 4 < 0 2 x + 1 \geq 0

La prima disequazione equivale a $x^{2} < 4$ e ha soluzioni $- 2 < x < 2$ . La seconda ha soluzioni $x \geq - \frac{1}{2}$ . L’intersezione dei due insiemi è $- \frac{1}{2} \leq x < 2$ , che è l’insieme delle soluzioni del sistema.

Esercizi svolti su questo argomento

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