Esercizi svolti · Scheda 2

Equazioni di grado superiore

Teoria usata: Risoluzione per fattorizzazione Legge di annullamento del prodotto Equazioni biquadratiche

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

x^{3} - 4 x = 0.

x^{3} - 4 x = x (x^{2} - 4) = x (x - 2) (x + 2) = 0

x = 0, x = 2, x = - 2

Tutti i termini contengono il fattore $x$ , quindi il primo passo è il raccoglimento totale. Il fattore $x^{2} - 4$ è una differenza di quadrati, perciò si scompone in $(x - 2) (x + 2)$ e il primo membro diventa un prodotto di tre fattori di primo grado.

Per la legge di annullamento del prodotto, il prodotto è nullo quando almeno un fattore è nullo, quindi le soluzioni sono $0$ , $2$ e $- 2$ . L’equazione ha grado $3$ e le soluzioni trovate sono tre, perciò sono tutte.

Esercizio 2

Risolvere l’equazione

x^{3} + 3 x^{2} - 4 = 0.

Posto $P (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4$ , si ha $P (1) = 1 + 3 - 4 = 0$ .

111314044 - 4 40

(x - 1) (x^{2} + 4 x + 4) = (x - 1) (x + 2)^{2} = 0

x = 1, x = - 2 (doppia)

Il polinomio ha coefficiente direttore $1$ , quindi le eventuali radici razionali sono intere e dividono il termine noto $- 4$ . Il candidato $1$ è una radice, poiché $P (1) = 0$ , perciò per il teorema di Ruffini $x - 1$ divide $P$ . Nello schema di Ruffini il termine di grado $1$ manca, quindi il suo coefficiente è $0$ .

Il quoziente $x^{2} + 4 x + 4$ contiene i quadrati di $x$ e di $2$ e il doppio prodotto $4 x$ , quindi è il quadrato del binomio $x + 2$ . Per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni sono $1$ e $- 2$ ; la soluzione $- 2$ è doppia, perché il fattore $x + 2$ compare al quadrato.

Esercizio 3

Risolvere l’equazione biquadratica

x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0.

Con la sostituzione $t = x^{2}$ :

t^{2} + 3 t - 4 = 0, Δ = 9 + 16 = 25, t = \frac{- 3 \pm 5}{2}

t_{1} = 1, t_{2} = - 4

x^{2} = 1 ⟹ x = \pm 1; x^{2} = - 4 senza soluzioni reali

Le soluzioni sono $x = 1$ e $x = - 1$ .

L’equazione contiene solo i gradi $4$ , $2$ e $0$ , quindi è biquadratica e la sostituzione $t = x^{2}$ la trasforma in un’equazione di secondo grado in $t$ . Il discriminante vale $25$ e le soluzioni sono $t_{1} = \frac{- 3 + 5}{2} = 1$ e $t_{2} = \frac{- 3 - 5}{2} = - 4$ .

Si torna alla variabile $x$ risolvendo $x^{2} = t$ per ciascun valore. Da $x^{2} = 1$ seguono le soluzioni $\pm 1$ . L’equazione $x^{2} = - 4$ non ha soluzioni reali, perché un quadrato non è mai negativo, quindi il valore $t_{2} = - 4$ non produce soluzioni e l’equazione di partenza ha esattamente le due soluzioni $\pm 1$ .