Teoria

Potenze e radici

Le potenze a esponente intero, razionale e reale con le loro proprietà, le radici n-esime con le condizioni di esistenza, la razionalizzazione e il confronto tra potenze e tra radici.

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Potenze a esponente naturale e intero
Proprietà delle potenze
Radici n-esime
Potenze a esponente razionale e reale
Razionalizzazione
Confronto tra potenze e tra radici

Potenze a esponente naturale e intero

Potenza a esponente naturale e intero

Per $a \in R$ e $n$ naturale con $n \geq 1$ , la potenza $a^{n}$ è il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$ :

a^{n} = n fattori a \cdot a \dots a .

La definizione si estende agli esponenti interi ponendo, per $a \neq = 0$ ,

a^{0} = 1, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} .

Queste posizioni sono le uniche che conservano le proprietà delle potenze: da $a^{n} \cdot a^{0} = a^{n + 0} = a^{n}$ segue $a^{0} = 1$ , e da $a^{n} \cdot a^{- n} = a^{0} = 1$ segue $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ . Per esempio $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ e $(\frac{2}{3})^{- 1} = \frac{3}{2}$ .

Osservazione

Con base negativa il segno della potenza dipende dalla parità dell’esponente: $(- 2)^{4} = 16$ e $(- 2)^{3} = - 8$ . La scrittura $- 2^{4}$ indica l’opposto di $2^{4}$ , cioè $- 16$ , perché l’elevamento a potenza precede il cambio di segno.

Proprietà delle potenze

Per $a, b > 0$ ed esponenti $m, n$ reali (con basi negative valgono per esponenti interi):

prodotto di potenze con la stessa base: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ; per esempio $2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7} = 128$ ;
quoziente di potenze con la stessa base: $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ ; per esempio $\frac{5 ^{6}}{5 ^{4}} = 5^{2} = 25$ ;
potenza di potenza: $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ ; per esempio $(3^{2})^{3} = 3^{6} = 729$ ;
prodotto di potenze con lo stesso esponente: $a^{n} \cdot b^{n} = (ab)^{n}$ ; per esempio $2^{3} \cdot 5^{3} = 1 0^{3} = 1000$ ;
quoziente di potenze con lo stesso esponente: $\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}$ ; per esempio $\frac{6 ^{2}}{3 ^{2}} = 2^{2} = 4$ .

Le proprietà trasformano prodotti e quozienti di potenze in una potenza sola e sono lo strumento con cui si semplificano le espressioni; negli esercizi si usano in entrambi i versi, anche per riscrivere una potenza in una forma più comoda, come $8^{10} = (2^{3})^{10} = 2^{30}$ .

Attenzione

Le proprietà riguardano prodotti e quozienti. Per la potenza di una somma vale lo sviluppo del binomio, e in generale $(a + b)^{n}$ è diverso da $a^{n} + b^{n}$ : per esempio $(3 + 4)^{2} = 49$ , mentre $3^{2} + 4^{2} = 25$ . Allo stesso modo la somma $a^{m} + a^{n}$ è diversa in generale da $a^{m + n}$ : $2^{2} + 2^{3} = 12$ , mentre $2^{5} = 32$ .

Radici n-esime

Radice n-esima e condizioni di esistenza

Per $n$ naturale con $n \geq 2$ :

se $n$ è dispari, $n a$ è definita per ogni $a \in R$ ed è l’unico numero reale $x$ tale che $x^{n} = a$ ; per esempio $3 - 8 = - 2$ , perché $(- 2)^{3} = - 8$ ;
se $n$ è pari, $n a$ è definita per $a \geq 0$ ed è l’unico numero reale $x \geq 0$ tale che $x^{n} = a$ ; per esempio $49 = 7$ , mentre $- 4$ in $R$ è priva di significato, perché ogni quadrato è maggiore o uguale a zero.

Con indice pari la radice è per definizione maggiore o uguale a zero: l’equazione $x^{2} = 49$ ha le due soluzioni $x = \pm 7$ , mentre il simbolo $49$ indica soltanto $7$ . La condizione “radicando maggiore o uguale a zero per indice pari” è la condizione di esistenza che apre ogni esercizio con radici.

y = √x: la radice quadrata è definita per x ≥ 0 e ha valori maggiori o uguali a zero

Condizioni di esistenza

$2 x - 6$ ha indice pari, quindi richiede $2 x - 6 \geq 0$ , cioè $x \geq 3$ ; la radice $3 2 x - 6$ ha indice dispari ed esiste per ogni $x$ reale. Quando le radici sono più di una, le condizioni devono valere insieme e si mettono a sistema: per $x - 1 + 5 - x$

{x - 1 \geq 0 5 - x \geq 0 ⟹ 1 \leq x \leq 5.

Proprietà delle radici

Per $a, b \geq 0$ (con $b > 0$ nei quozienti) e indici $m, n \geq 2$ :

n ab = n a n b, n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}, m n a = mn a, n a^{m} = (n a)^{m} .

Vale inoltre la proprietà invariantiva: per ogni naturale $p \geq 1$ ,

n a^{m} = n p a^{m p} .

Con la prima proprietà si estraggono i fattori dal segno di radice, per esempio $72 = 36 \cdot 2 = 62$ ; con la proprietà invariantiva si portano due radici allo stesso indice, operazione su cui si fonda il confronto tra radici.

Attenzione

Per la radice quadrata di un quadrato vale $a^{2} = ∣ a ∣$ , mentre l’uguaglianza $a^{2} = a$ è falsa per $a < 0$ : per esempio $(- 5)^{2} = 25 = 5 = ∣ - 5∣$ .

Potenze a esponente razionale e reale

Potenza a esponente razionale

Per $a > 0$ , $m$ intero e $n$ naturale con $n \geq 2$ , si pone

a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} .

In particolare $a^{\frac{1}{n}} = n a$ e $a^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{a}$ . Con questa definizione le proprietà delle potenze continuano a valere, quindi i calcoli con le radici si possono svolgere con le regole degli esponenti:

2 \cdot 32 = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = 6 2^{5} .

Attenzione

La base delle potenze a esponente razionale è positiva. Con base negativa la scrittura perde coerenza: $(- 8)^{\frac{1}{3}}$ dovrebbe valere $3 - 8 = - 2$ , mentre la stessa frazione scritta come $\frac{2}{6}$ darebbe $6 (- 8)^{2} = 664 = 2$ . Per le radici di numeri negativi si usa la notazione $3 - 8$ con indice dispari.

Potenza a esponente reale

Per $a > 0$ e $x$ reale, la potenza $a^{x}$ si definisce approssimando $x$ con esponenti razionali: $2^{2}$ è il numero a cui si avvicinano $2^{1, 4}$ , $2^{1, 41}$ , $2^{1, 414}$ e così via. Tutte le proprietà delle potenze restano valide, e il risultato è sempre positivo: $a^{x} > 0$ per ogni $x$ reale. Su questa definizione si costruisce la funzione esponenziale, trattata nel capitolo sulle funzioni elementari.

Razionalizzazione

Razionalizzare una frazione significa riscriverla con il denominatore privo di radici, moltiplicando numeratore e denominatore per uno stesso fattore, scelto in modo che il denominatore diventi razionale. I tre casi tipici:

radice singola: si moltiplica per la radice stessa, perché $a \cdot a = a$ ; per esempio $\frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ ;
binomio con radici quadrate: si moltiplica per il binomio coniugato, perché $(a - b) (a + b) = a - b$ ; per esempio $\frac{1}{5 - 3} = \frac{5 + 3}{2}$ ;
radice cubica: si moltiplica per il fattore che completa il cubo sotto radice, cioè $3 a^{2}$ per $3 a$ ; per esempio $\frac{1}{3 2} = \frac{3 4}{2}$ .

La razionalizzazione serve per sommare e confrontare frazioni con radici e ritorna nei limiti con differenze di radici, trattati nel capitolo sui limiti.

Razionalizzazione con il binomio coniugato

\frac{2}{5 - 3} = \frac{2 ( 5 + 3 )}{( 5 - 3 ) ( 5 + 3 )} = \frac{2 ( 5 + 3 )}{5 - 3} = 5 + 3

Il prodotto al denominatore è una somma per una differenza, quindi vale la differenza dei quadrati $5 - 3 = 2$ , che si semplifica con il numeratore.

Confronto tra potenze e tra radici

Confronto tra potenze

Per confrontare due potenze si distingue secondo la base e l’esponente:

stessa base $a > 1$ : la potenza cresce al crescere dell’esponente, quindi $x < y \Rightarrow a^{x} < a^{y}$ ; per esempio $2^{3} < 2^{5}$ ;
stessa base $0 < a < 1$ : la potenza decresce al crescere dell’esponente, quindi $x < y \Rightarrow a^{x} > a^{y}$ ; per esempio $(\frac{1}{2})^{3} > (\frac{1}{2})^{5}$ ;
stesso esponente $x > 0$ e basi $0 < a < b$ : vale $a^{x} < b^{x}$ ; per esempio $3^{4} < 5^{4}$ . Con esponente negativo la disuguaglianza si rovescia: $3^{- 1} > 5^{- 1}$ , perché $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$ ;
basi ed esponenti diversi: con la potenza di potenza si riscrivono le potenze con la stessa base oppure con lo stesso esponente; per esempio $2^{30} = (2^{3})^{10} = 8^{10}$ e $3^{20} = (3^{2})^{10} = 9^{10}$ , quindi $2^{30} < 3^{20}$ .

Confronto tra radici

Radici con lo stesso indice si confrontano attraverso i radicandi: per $0 \leq a < b$ vale $n a < n b$ . Radici con indici diversi si portano allo stesso indice con la proprietà invariantiva, usando come indice comune il minimo comune multiplo degli indici.

3 = 6 3^{3} = 627, 35 = 6 5^{2} = 625, quindi 3 > 35 .

Con questo metodo si ordinano elenchi di radici qualsiasi, come negli esercizi di ordinamento.

Esercizi svolti su questo argomento

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