Esercizi svolti · Scheda 1

Semplificazioni con le proprietà delle potenze

Teoria usata: Proprietà delle potenze Potenza a esponente naturale e intero

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Esercizio 1

Semplificare

\frac{2 ^{5} \cdot 2 ^{3}}{2 ^{6}} .

\frac{2 ^{5} \cdot 2 ^{3}}{2 ^{6}} = \frac{2 ^{5 + 3}}{2 ^{6}} = 2^{8 - 6} = 2^{2} = 4

Al numeratore le due potenze hanno la stessa base, quindi il prodotto è la potenza con la somma degli esponenti, cioè $2^{8}$ . Il quoziente di potenze con la stessa base è la potenza con la differenza degli esponenti, perciò l’espressione vale $2^{2} = 4$ .

Esercizio 2

Semplificare

\frac{6 ^{4} \cdot 2 ^{- 3}}{3 ^{4}} .

\frac{6 ^{4} \cdot 2 ^{- 3}}{3 ^{4}} = \frac{6 ^{4}}{3 ^{4}} \cdot 2^{- 3} = (\frac{6}{3})^{4} \cdot 2^{- 3} = 2^{4} \cdot 2^{- 3} = 2^{4 - 3} = 2

Le potenze $6^{4}$ e $3^{4}$ hanno lo stesso esponente, quindi il loro quoziente è la potenza del quoziente delle basi, cioè $(\frac{6}{3})^{4} = 2^{4}$ . A questo punto il prodotto $2^{4} \cdot 2^{- 3}$ ha base comune, perciò gli esponenti si sommano e il risultato è $2^{1} = 2$ .

L’esponente negativo indica il reciproco: $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ , e la verifica diretta conferma il risultato, perché $2^{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{16}{8} = 2$ .

Esercizio 3

Semplificare, per $a, b \neq = 0$ ,

(\frac{a ^{3} b ^{2}}{a b ^{4}})^{2} \cdot \frac{b ^{5}}{a ^{4}} .

(\frac{a ^{3} b ^{2}}{a b ^{4}})^{2} \cdot \frac{b ^{5}}{a ^{4}} = (a^{3 - 1} b^{2 - 4})^{2} \cdot \frac{b ^{5}}{a ^{4}} = (a^{2} b^{- 2})^{2} \cdot \frac{b ^{5}}{a ^{4}} = a^{4} b^{- 4} \cdot \frac{b ^{5}}{a ^{4}} = a^{4 - 4} b^{- 4 + 5} = a^{0} b^{1} = b

Dentro la frazione si applica il quoziente di potenze con la stessa base, separatamente per $a$ e per $b$ : gli esponenti si sottraggono e restano $a^{2}$ e $b^{- 2}$ . La potenza di potenza moltiplica gli esponenti, quindi il quadrato della frazione semplificata è $a^{4} b^{- 4}$ .

Nel prodotto finale le potenze di $a$ e quelle di $b$ si combinano sommando gli esponenti: per $a$ si ottiene $4 - 4 = 0$ e per $b$ si ottiene $- 4 + 5 = 1$ . Poiché $a \neq = 0$ , vale $a^{0} = 1$ , perciò l’espressione si riduce a $b$ .