Teoria

Equazioni e disequazioni irrazionali

Le condizioni di esistenza delle radici e i sistemi che risolvono equazioni e disequazioni con radici di indice pari e dispari.

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Condizioni di esistenza
L’equazione √A = B
L’equazione con due radici
La disequazione √A < B
La disequazione √A > B
Radici di indice dispari

Condizioni di esistenza

Condizioni di esistenza delle radici di indice pari

La scrittura $A$ , come ogni radice di indice pari, ha significato solo se $A \geq 0$ , e il suo valore è per definizione il numero non negativo il cui quadrato è $A$ ; quindi $A \geq 0$ in ogni punto in cui la radice è definita. Per esempio $x - 2$ è definita per $x \geq 2$ , e $9 = 3$ , non $\pm 3$ . Nei sistemi risolutivi di questo capitolo la condizione $A \geq 0$ compare esplicitamente oppure è conseguenza delle altre condizioni, e in ogni caso va controllata.

L’equazione √A = B

Equazione della forma √A = B

A = B ⟺ {B \geq 0 A = B^{2}

Il primo membro non è negativo, quindi l’equazione impone $B \geq 0$ ; con entrambi i membri non negativi, l’elevamento al quadrato conserva l’uguaglianza nei due versi. La condizione di esistenza $A \geq 0$ non va aggiunta, perché da $A = B^{2}$ segue $A \geq 0$ .

Esempio

$x + 3 = x + 1$ :

{x + 1 \geq 0 x + 3 = (x + 1)^{2}

La seconda equazione è $x^{2} + x - 2 = 0$ , con radici $x = 1$ e $x = - 2$ . Poiché $- 2 + 1 = - 1 < 0$ , il valore $x = - 2$ non soddisfa la prima condizione e si scarta; la soluzione è $x = 1$ , e infatti $4 = 2 = 1 + 1$ .

Attenzione

Elevare al quadrato entrambi i membri senza la condizione $B \geq 0$ introduce soluzioni estranee. Da $x = x - 2$ , elevando al quadrato, si ottiene $x = x^{2} - 4 x + 4$ , cioè $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ , con radici $x = 1$ e $x = 4$ . Per $x = 1$ il primo membro vale $1 = 1$ e il secondo vale $1 - 2 = - 1$ , quindi $x = 1$ non risolve l’equazione di partenza; la sola soluzione è $x = 4$ . Il quadrato cancella i segni, perciò l’uguaglianza tra i quadrati non garantisce l’uguaglianza tra i membri.

L’equazione con due radici

Equazione della forma √A = √B

A = B ⟺ {A \geq 0 A = B

Con entrambi i membri non negativi, l’elevamento al quadrato conserva l’uguaglianza e dà $A = B$ ; basta allora imporre $A \geq 0$ , perché da $A = B$ segue che anche la condizione $B \geq 0$ è soddisfatta. Al posto di $A \geq 0$ si può imporre $B \geq 0$ , scegliendo il radicando più semplice.

Esempio

$3 x - 2 = x + 4$ :

{x + 4 \geq 0 3 x - 2 = x + 4

L’equazione dà $x = 3$ , che soddisfa la condizione poiché $3 + 4 = 7 \geq 0$ ; la soluzione è $x = 3$ , e i due radicandi valgono entrambi $7$ .

La disequazione √A < B

Disequazione della forma √A < B

A < B ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ A \geq 0 B > 0 A < B^{2}

La condizione $A \geq 0$ è la condizione di esistenza della radice. Poiché $A \geq 0$ , la disuguaglianza impone $B > 0$ ; con entrambi i membri non negativi, l’elevamento al quadrato conserva il verso e dà $A < B^{2}$ . Per $A \leq B$ il sistema è lo stesso con $B \geq 0$ e $A \leq B^{2}$ .

Esempio

$x + 2 < 3$ :

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 \geq 0 3 > 0 x + 2 < 9 {x \geq - 2 x < 7

La condizione $3 > 0$ è vera per ogni $x$ , quindi la soluzione è $- 2 \leq x < 7$ .

La disequazione √A > B

Disequazione della forma √A > B

A > B ⟺ {B < 0 A \geq 0 \cup {B \geq 0 A > B^{2}

Dove $B < 0$ basta che la radice esista, perché un numero non negativo supera ogni numero negativo. Dove $B \geq 0$ i due membri sono non negativi, quindi l’elevamento al quadrato conserva il verso; la condizione $A \geq 0$ non va aggiunta nel secondo sistema, perché segue da $A > B^{2} \geq 0$ . Per $A \geq B$ si scrive $A \geq B^{2}$ nel secondo sistema.

Esempio

$2 x + 3 > x$ :

{x < 0 2 x + 3 \geq 0 \cup {x \geq 0 2 x + 3 > x^{2}

Il primo sistema dà $- \frac{3}{2} \leq x < 0$ . Nel secondo, la disequazione $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ equivale a $- 1 < x < 3$ , quindi con $x \geq 0$ restano i valori $0 \leq x < 3$ . L’unione dei due sistemi dà $- \frac{3}{2} \leq x < 3$ .

Radici di indice dispari

La radice cubica, come ogni radice di indice dispari, è definita per ogni numero reale e può assumere valori negativi: $3 - 8 = - 2$ . L’elevamento al cubo conserva sempre l’ordine, perché la funzione $y = x^{3}$ è crescente su tutto $R$ , quindi

3 A = B ⟺ A = B^{3}, 3 A < B ⟺ A < B^{3},

senza condizioni di esistenza e senza casi sul segno dei membri.

Esempio

$3 x - 3 = - 2$ equivale a $x - 3 = - 8$ , quindi $x = - 5$ ; il controllo dà $3 - 8 = - 2$ . L’equazione analoga con la radice quadrata, $x - 3 = - 2$ , non ha soluzioni, perché una radice di indice pari non è mai negativa.

Esercizi svolti su questo argomento

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