Esercizi svolti · Scheda 2

Equazioni con due radici

Teoria usata: Equazione della forma √A = √B Equazione della forma √A = B

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

4 x + 1 = x + 13 .

L’equazione equivale al sistema

{x + 13 \geq 0 4 x + 1 = x + 13 {x \geq - 13 3 x = 12 {x \geq - 13 x = 4

La soluzione è $x = 4$ .

Con due radici uguali basta uguagliare i radicandi e imporre che uno dei due sia non negativo, perché l’uguaglianza dei radicandi rende automatica l’altra condizione. L’equazione di primo grado dà $x = 4$ , che soddisfa $4 + 13 = 17 \geq 0$ . Il controllo per sostituzione conferma il risultato, poiché entrambi i radicandi valgono $17$ e i due membri valgono $17$ .

Esercizio 2

Risolvere l’equazione

x^{2} - 3 = 2 x .

{2 x \geq 0 x^{2} - 3 = 2 x {x \geq 0 x^{2} - 2 x - 3 = 0 {x \geq 0 (x - 3) (x + 1) = 0

Il valore $x = - 1$ non soddisfa la condizione $x \geq 0$ e si scarta. La soluzione è $x = 3$ .

Dei due radicandi conviene imporre la non negatività di $2 x$ , che è il più semplice. L’uguaglianza dei radicandi dà l’equazione di secondo grado $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ , con radici $3$ e $- 1$ ; la radice negativa non soddisfa la condizione $x \geq 0$ e si scarta, e in effetti per $x = - 1$ il radicando $2 x = - 2$ è negativo e il secondo membro non è definito. Il controllo per sostituzione conferma la soluzione rimasta: per $x = 3$ entrambi i radicandi valgono $6$ .

Esercizio 3

Risolvere l’equazione

x + 5 = 1 + x .

Condizione di esistenza: $x \geq 0$ , e allora anche $x + 5 \geq 0$ . Entrambi i membri sono non negativi, quindi l’elevamento al quadrato conserva l’uguaglianza:

x + 5 = 1 + 2 x + x

2 x = 4

x = 2

x = 4

Il valore $x = 4$ soddisfa la condizione $x \geq 0$ . La soluzione è $x = 4$ .

Le due radici hanno radicandi diversi e una costante si somma al secondo membro, quindi la regola dei radicandi uguali non si applica direttamente e si eleva al quadrato. L’elevamento è lecito perché entrambi i membri sono non negativi dove $x \geq 0$ . Nel quadrato del secondo membro compare il doppio prodotto $2 x$ ; i termini $x$ si cancellano e resta un’equazione nella sola radice $x$ , che vale $2$ , da cui $x = 4$ con un secondo elevamento al quadrato, anch’esso tra membri non negativi. Il controllo per sostituzione conferma il risultato: $9 = 3$ e $1 + 4 = 3$ .