Esercizi svolti · Scheda 1

Equazioni della forma √A = B

Teoria usata: Equazione della forma √A = B Condizioni di esistenza delle radici di indice pari

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

2 x - 1 = 3.

L’equazione equivale al sistema

{3 \geq 0 2 x - 1 = 9 {3 \geq 0 x = 5

La soluzione è $x = 5$ .

Il secondo membro è la costante $3$ , che è non negativa, quindi la condizione $B \geq 0$ è soddisfatta per ogni $x$ e resta solo l’equazione tra il radicando e il quadrato del secondo membro. Da $2 x - 1 = 9$ segue $x = 5$ . Il controllo per sostituzione conferma il risultato, poiché il radicando vale $2 \cdot 5 - 1 = 9$ e $9 = 3$ .

Esercizio 2

Risolvere l’equazione

x + 3 = x - 3.

{x - 3 \geq 0 x + 3 = (x - 3)^{2} {x \geq 3 x + 3 = x^{2} - 6 x + 9 {x \geq 3 x^{2} - 7 x + 6 = 0

L’equazione di secondo grado si scompone:

(x - 1) (x - 6) = 0

x = 1 \lor x = 6

Il valore $x = 1$ non soddisfa la condizione $x \geq 3$ e si scarta. La soluzione è $x = 6$ .

Il secondo membro contiene la variabile, quindi la condizione $x - 3 \geq 0$ entra nel sistema e decide quali radici sono accettabili. Elevando al quadrato si ottiene l’equazione $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ , con radici $1$ e $6$ . Poiché $1 < 3$ , la prima radice non soddisfa la condizione e si scarta; in effetti per $x = 1$ il primo membro vale $4 = 2$ e il secondo vale $- 2$ . Il controllo per sostituzione conferma la soluzione rimasta: per $x = 6$ si ha $9 = 3 = 6 - 3$ .

Esercizio 3

Risolvere l’equazione

x^{2} + 3 x = 2 x .

{2 x \geq 0 x^{2} + 3 x = 4 x^{2} {x \geq 0 3 x^{2} - 3 x = 0 {x \geq 0 3 x (x - 1) = 0

Le radici $x = 0$ e $x = 1$ soddisfano entrambe la condizione $x \geq 0$ .

Le soluzioni sono $x = 0$ e $x = 1$ .

La condizione di accettabilità è $2 x \geq 0$ , cioè $x \geq 0$ . Elevando al quadrato, il radicando $x^{2} + 3 x$ va uguagliato a $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ ; portando tutto da una parte si ottiene $3 x^{2} - 3 x = 0$ , che si scompone raccogliendo $3 x$ . Entrambe le radici sono non negative, quindi nessuna si scarta. Il controllo per sostituzione conferma il risultato: per $x = 0$ entrambi i membri valgono $0$ , e per $x = 1$ si ha $1 + 3 = 2 = 2 \cdot 1$ .