Esercizi svolti · Scheda 4

Disequazioni di grado superiore con la tabella dei segni

Teoria usata: Tabella dei segni Segno del trinomio di secondo grado Risoluzione per fattorizzazione

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Esercizio 1

Risolvere la disequazione

x^{3} - 9 x \leq 0.

x^{3} - 9 x = x (x^{2} - 9) = x (x - 3) (x + 3)

x + 3 x x - 3 x (x + 3) (x - 3) x < - 3 - - - - - 3 < x < 0 + - - + 0 < x < 3 + + - - x > 3 + + + +

x \leq - 3 oppure 0 \leq x \leq 3

Il polinomio si scompone con il raccoglimento di $x$ e la differenza di quadrati, quindi gli zeri sono $- 3$ , $0$ e $3$ e la retta reale si divide in quattro intervalli. Ogni fattore di primo grado è negativo prima del proprio zero e positivo dopo, perciò la tabella si compila riga per riga.

Il segno del prodotto su ogni intervallo è il prodotto dei segni della colonna: il prodotto è negativo per $x < - 3$ e per $0 < x < 3$ . Il verso della disequazione è $\leq$ , quindi gli zeri del polinomio appartengono alle soluzioni e gli intervalli si prendono chiusi: $x \leq - 3$ oppure $0 \leq x \leq 3$ .

Esercizio 2

Risolvere la disequazione

(x - 1)^{2} (x + 3) < 0.

(x - 1)^{2} x + 3 (x - 1)^{2} (x + 3) x < - 3 + - - - 3 < x < 1 + + + x > 1 + + +

x < - 3

Il primo membro è già scomposto e i suoi zeri sono $1$ , con molteplicità due, e $- 3$ . Il fattore $(x - 1)^{2}$ è un quadrato, quindi è positivo in ogni punto diverso da $1$ e nullo in $1$ : nella tabella la sua riga porta sempre il segno più, e il segno del prodotto dipende solo dal fattore $x + 3$ .

Il prodotto è negativo soltanto per $x < - 3$ . Il verso è $<$ stretto, perciò gli zeri $- 3$ e $1$ sono esclusi; il punto $x = 1$ è comunque fuori dall’intervallo trovato, quindi le soluzioni sono $x < - 3$ .

Esercizio 3

Risolvere la disequazione

x^{4} - 5 x^{2} + 4 < 0.

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = (x + 2) (x + 1) (x - 1) (x - 2)

x + 2 x + 1 x - 1 x - 2 prodotto x < - 2 - - - - + - 2 < x < - 1 + - - - - - 1 < x < 1 + + - - + 1 < x < 2 + + + - - x > 2 + + + + +

- 2 < x < - 1 oppure 1 < x < 2

Il polinomio è un trinomio speciale nella variabile $x^{2}$ , poiché $(- 1) + (- 4) = - 5$ e $(- 1) \cdot (- 4) = 4$ , quindi si scompone in $(x^{2} - 1) (x^{2} - 4)$ ; le due differenze di quadrati portano a quattro fattori di primo grado, con zeri $- 2$ , $- 1$ , $1$ e $2$ .

La tabella ha una riga per fattore e cinque colonne. Il prodotto è negativo nelle colonne con un numero dispari di segni meno, cioè sugli intervalli $(- 2, - 1)$ e $(1, 2)$ . Il verso è $<$ stretto, quindi gli zeri sono esclusi e le soluzioni sono $- 2 < x < - 1$ oppure $1 < x < 2$ .