Disequazioni fratte

La disequazione è già nella forma di quoziente, quindi si studiano i segni di numeratore e denominatore: il numeratore si annulla in $3$ e il denominatore in $-1$, e questi due punti dividono la retta in tre intervalli. Il quoziente ha lo stesso segno del prodotto dei due fattori, perciò è positivo dove i segni sono concordi.

Il verso è $\ge$, quindi lo zero del numeratore $x=3$ è incluso nelle soluzioni. Il punto $x=-1$ annulla il denominatore, perciò è escluso per ogni verso, dato che in quel punto la frazione non è definita. Le soluzioni sono $x<-1$ oppure $x\ge 3$.

Il numeratore è una differenza di quadrati e si scompone in $(x+2)(x-2)$, quindi i fattori in gioco sono tre, con zeri $-2$, $1$ e $2$. Nella tabella il segno del quoziente su ogni colonna è il prodotto dei tre segni, perciò il quoziente è negativo dove i segni meno compaiono in numero dispari.

Il quoziente è negativo per $x<-2$ e per $1<x<2$. Il verso è $<$ stretto, quindi gli zeri del numeratore sono esclusi, e il punto $x=1$ è escluso in ogni caso perché annulla il denominatore. Le soluzioni sono $x<-2$ oppure $1<x<2$.

Il secondo membro è diverso da zero, quindi il primo passo porta il termine $1$ al primo membro e riduce allo stesso denominatore; il numeratore diventa $2x-(x-1)=x+1$. Il denominatore dipende da $x$ e cambia segno, perciò la disequazione si risolve con la tabella dei segni della frazione $\frac{x+1}{x-1}$, senza moltiplicare i due membri per $x-1$.

Il quoziente è negativo dove i segni sono discordi, cioè per $-1<x<1$. Il verso è $\le$, quindi lo zero del numeratore $x=-1$ è incluso, mentre $x=1$ resta escluso perché annulla il denominatore. Le soluzioni sono $-1\le x<1$.