Esercizi svolti · Scheda 2

Divisioni tra polinomi con l'algoritmo

Teoria usata: Divisione con resto Polinomio e grado Principio di identità dei polinomi Teorema di Ruffini

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Esercizio 1

Determinare quoziente e resto della divisione di $x^{3} + 2 x^{2} - x + 3$ per $x + 1$ .

x^{3} + 2 x^{2} - x + 3 - x^{2} (x + 1) x^{2} - x + 3 - x (x + 1) - 2 x + 3 - (- 2) (x + 1) = x^{2} - x + 3 = - 2 x + 3 = 5

Q (x) = x^{2} + x - 2, R (x) = 5

Il primo termine del quoziente è il rapporto tra i termini di grado massimo di dividendo e divisore, cioè $\frac{x ^{3}}{x} = x^{2}$ ; si moltiplica il divisore per $x^{2}$ e si sottrae il prodotto dal dividendo, e il resto parziale è $x^{2} - x + 3$ . Il resto parziale ha grado $2$ , maggiore del grado del divisore, quindi l’algoritmo prosegue: il termine successivo è $\frac{x ^{2}}{x} = x$ e il nuovo resto parziale è $- 2 x + 3$ . Anche questo ha grado uguale a quello del divisore, perciò si esegue un ultimo passo con il termine $\frac{- 2 x}{x} = - 2$ , che lascia il resto $5$ . Il resto ha grado zero, minore del grado del divisore, quindi l’algoritmo termina.

La verifica usa il principio di identità: $(x + 1) (x^{2} + x - 2) + 5 = x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 + 5 = x^{3} + 2 x^{2} - x + 3$ , che è il dividendo.

Esercizio 2

Determinare quoziente e resto della divisione di $2 x^{4} - 3 x^{3} + x - 1$ per $x^{2} - 2$ .

2 x^{4} - 3 x^{3} + 0 x^{2} + x - 1

2 x^{4} - 3 x^{3} + 0 x^{2} + x - 1 - 2 x^{2} (x^{2} - 2) - 3 x^{3} + 4 x^{2} + x - 1 - (- 3 x) (x^{2} - 2) 4 x^{2} - 5 x - 1 - 4 (x^{2} - 2) = - 3 x^{3} + 4 x^{2} + x - 1 = 4 x^{2} - 5 x - 1 = - 5 x + 7

Q (x) = 2 x^{2} - 3 x + 4, R (x) = - 5 x + 7

Il dividendo manca del termine di grado $2$ , quindi si riscrive con il coefficiente $0$ al posto del grado mancante, così ogni colonna dell’algoritmo resta allineata.

Il primo termine del quoziente è $\frac{2 x ^{4}}{x ^{2}} = 2 x^{2}$ e la prima sottrazione lascia $- 3 x^{3} + 4 x^{2} + x - 1$ . Poiché il grado del resto parziale è $3$ , maggiore del grado del divisore, si prosegue con $\frac{- 3 x ^{3}}{x ^{2}} = - 3 x$ , che lascia $4 x^{2} - 5 x - 1$ . Il grado è ancora uguale a quello del divisore, perciò l’ultimo termine del quoziente è $\frac{4 x ^{2}}{x ^{2}} = 4$ e il resto è $- 5 x + 7$ . Il resto ha grado $1$ , minore di $2$ , quindi la divisione è conclusa: quando il divisore ha grado $2$ , il resto può contenere sia un termine in $x$ sia un termine noto.

Esercizio 3

Eseguire la divisione di $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2$ per $x - 2$ e stabilire se la divisione è esatta.

x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2 - x^{2} (x - 2) - x^{2} + 3 x - 2 - (- x) (x - 2) x - 2 - 1 \cdot (x - 2) = - x^{2} + 3 x - 2 = x - 2 = 0

Q (x) = x^{2} - x + 1, R (x) = 0

La divisione è esatta e $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2 = (x - 2) (x^{2} - x + 1)$ .

I tre passi dell’algoritmo producono i termini $x^{2}$ , $- x$ e $1$ del quoziente; dopo l’ultima sottrazione il resto è $0$ , quindi la divisione è esatta. Per il teorema di Ruffini questo significa che $2$ è una radice del dividendo, e infatti $P (2) = 8 - 12 + 6 - 2 = 0$ . Il divisore $x - 2$ è perciò un fattore del dividendo, e la divisione fornisce la scomposizione $P (x) = (x - 2) (x^{2} - x + 1)$ .