Esercizi svolti · Scheda 3

Equazioni di secondo grado in seno o coseno

Teoria usata: Equazioni di secondo grado in seno o coseno Identità fondamentale Equazioni elementari

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

2 sin^{2} x - 3 sin x + 1 = 0.

Con la sostituzione $t = sin x$ si ottiene il sistema

{2 t^{2} - 3 t + 1 = 0 - 1 \leq t \leq 1

L’equazione in $t$ ha discriminante $Δ = 9 - 8 = 1$ e radici

t = \frac{3 \pm 1}{4}, t_{1} = 1, t_{2} = \frac{1}{2},

entrambe accettabili. Da $sin x = 1$ :

x = \frac{π}{2} + 2 nπ .

Da $sin x = \frac{1}{2}$ :

x = \frac{π}{6} + 2 nπ oppure x = \frac{5 π}{6} + 2 nπ .

Soluzioni: $x = \frac{π}{2} + 2 nπ$ , $x = \frac{π}{6} + 2 nπ$ oppure $x = \frac{5 π}{6} + 2 nπ$ , con $n \in Z$ .

L’equazione contiene solo $sin x$ e il suo quadrato, quindi la sostituzione $t = sin x$ la trasforma in un’equazione di secondo grado ordinaria, accompagnata dalla condizione $- 1 \leq t \leq 1$ perché il seno assume solo valori in quell’intervallo. Entrambe le radici soddisfano la condizione, perciò danno ciascuna un’equazione elementare. Il valore $sin x = 1$ individua un solo punto sulla circonferenza goniometrica, il punto più alto, quindi produce una sola famiglia; il valore $sin x = \frac{1}{2}$ individua due punti, di angoli $\frac{π}{6}$ e $\frac{5 π}{6}$ , quindi produce due famiglie.

Esercizio 2

Risolvere l’equazione

2 cos^{2} x + 5 cos x + 2 = 0.

Con la sostituzione $t = cos x$ si ottiene il sistema

{2 t^{2} + 5 t + 2 = 0 - 1 \leq t \leq 1

Il discriminante è $Δ = 25 - 16 = 9$ e le radici sono

t = \frac{- 5 \pm 3}{4}, t_{1} = - \frac{1}{2}, t_{2} = - 2.

La radice $t_{2} = - 2$ non soddisfa la condizione $- 1 \leq t \leq 1$ e va scartata. Da $cos x = - \frac{1}{2}$ :

x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 nπ .

Soluzioni: $x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 nπ$ , con $n \in Z$ .

Il procedimento è lo stesso dell’esercizio precedente con il coseno al posto del seno. Qui una delle due radici dell’equazione in $t$ vale $- 2$ , e poiché il coseno assume solo valori tra $- 1$ e $1$ , l’equazione $cos x = - 2$ non ha soluzioni: quella radice non contribuisce. Resta $cos x = - \frac{1}{2}$ , un’equazione elementare le cui soluzioni sono gli angoli $\pm \frac{2 π}{3}$ a meno di giri, simmetrici rispetto all’asse delle ascisse.

Esercizio 3

Risolvere l’equazione

2 sin^{2} x + 3 cos x - 3 = 0.

L’equazione contiene sia $sin^{2} x$ sia $cos x$ , quindi si applica l’identità fondamentale nella forma $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ :

2 (1 - cos^{2} x) + 3 cos x - 3 - 2 cos^{2} x + 3 cos x - 1 2 cos^{2} x - 3 cos x + 1 = 0 = 0 = 0.

Con $t = cos x$ : il discriminante è $Δ = 9 - 8 = 1$ e le radici sono

t = \frac{3 \pm 1}{4}, t_{1} = 1, t_{2} = \frac{1}{2},

entrambe accettabili. Da $cos x = 1$ :

x = 2 nπ .

Da $cos x = \frac{1}{2}$ :

x = \pm \frac{π}{3} + 2 nπ .

Soluzioni: $x = 2 nπ$ oppure $x = \pm \frac{π}{3} + 2 nπ$ , con $n \in Z$ .

La sostituzione diretta non si applica subito, perché l’equazione contiene due funzioni diverse. Il quadrato del seno si riscrive però con l’identità fondamentale, e dopo la sostituzione tutta l’equazione contiene solo il coseno; il cambio di segno finale serve ad avere il coefficiente del termine quadratico positivo. Da qui il procedimento è quello standard: equazione di secondo grado in $t$ , controllo della condizione $- 1 \leq t \leq 1$ , quindi un’equazione elementare per ciascuna radice accettabile. Una verifica: per $x = \frac{π}{3}$ si ha $2 \cdot \frac{3}{4} + 3 \cdot \frac{1}{2} - 3 = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - 3 = 0$ , quindi l’equazione è soddisfatta.