Esercizi svolti · Scheda 4

Equazioni omogenee e lineari

Teoria usata: Equazioni omogenee di secondo grado Metodo dell'angolo aggiunto Equazioni elementari

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

sin^{2} x - 3 sin x cos x + 2 cos^{2} x = 0.

L’equazione è omogenea di secondo grado con $a = 1 \neq = 0$ . Nei punti con $cos x = 0$ si ha $sin^{2} x = 1$ , quindi il primo membro vale $1 \neq = 0$ e quei punti non sono soluzioni. Si divide per $cos^{2} x$ :

tan^{2} x - 3 tan x + 2 = 0.

Il discriminante è $Δ = 9 - 8 = 1$ e le radici sono

tan x = \frac{3 \pm 1}{2}, tan x = 1 oppure tan x = 2.

Da $tan x = 1$ :

x = \frac{π}{4} + nπ .

Da $tan x = 2$ :

x = arctan 2 + nπ .

Soluzioni: $x = \frac{π}{4} + nπ$ oppure $x = arctan 2 + nπ$ , con $n \in Z$ .

Tutti i termini hanno grado due in seno e coseno, quindi l’equazione è omogenea. Prima della divisione si controlla che i punti con $cos x = 0$ non siano soluzioni: in quei punti l’identità fondamentale dà $sin^{2} x = 1$ , il primo membro si riduce al coefficiente di $sin^{2} x$ e non si annulla, perciò la divisione per $cos^{2} x$ non fa perdere soluzioni. Dopo la divisione ogni termine diventa una potenza di $tan x$ e l’equazione è di secondo grado nella tangente. Il valore $2$ non è un valore notevole, quindi l’angolo corrispondente si indica con $arctan 2$ , l’angolo tra $- \frac{π}{2}$ e $\frac{π}{2}$ la cui tangente vale $2$ ; la periodicità $π$ della tangente dà una sola famiglia per ciascuna radice.

Esercizio 2

Risolvere l’equazione

sin x + cos x = 1.

Con il metodo dell’angolo aggiunto: $a = b = 1$ , quindi $R = 1 + 1 = 2$ e l’angolo $φ$ soddisfa il sistema

⎩ ⎨ ⎧ cos φ = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} sin φ = \frac{2}{2}

quindi $φ = \frac{π}{4}$ . L’equazione diventa

2 sin (x + \frac{π}{4}) = 1, sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} .

Le alternative sono

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 nπ oppure x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 nπ,

da cui

x = 2 nπ oppure x = \frac{π}{2} + 2 nπ .

Soluzioni: $x = 2 nπ$ oppure $x = \frac{π}{2} + 2 nπ$ , con $n \in Z$ .

L’equazione è lineare in seno e coseno, quindi si riscrive il primo membro come un unico seno con il metodo dell’angolo aggiunto. Il modulo $R$ vale $2$ , e l’angolo $φ$ ha coseno e seno entrambi uguali a $\frac{2}{2}$ , quindi $φ = \frac{π}{4}$ . Dopo la divisione per $2$ , dove $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ , l’equazione è elementare nell’incognita $x + \frac{π}{4}$ , e le due famiglie si ottengono sottraendo $\frac{π}{4}$ dalle soluzioni. Una verifica: per $x = \frac{π}{2}$ si ha $sin \frac{π}{2} + cos \frac{π}{2} = 1 + 0 = 1$ , quindi l’equazione è soddisfatta; per $x = 0$ si ha $0 + 1 = 1$ , anch’essa soddisfatta.

Esercizio 3

Risolvere l’equazione

3 sin x - cos x = 3 .

Qui $a = 3$ e $b = - 1$ , quindi $R = 3 + 1 = 2$ e l’angolo $φ$ soddisfa il sistema

⎩ ⎨ ⎧ cos φ = \frac{3}{2} sin φ = - \frac{1}{2}

quindi $φ = - \frac{π}{6}$ . L’equazione diventa

2 sin (x - \frac{π}{6}) = 3, sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} .

Le alternative sono

x - \frac{π}{6} = \frac{π}{3} + 2 nπ oppure x - \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3} + 2 nπ,

da cui

x = \frac{π}{2} + 2 nπ oppure x = \frac{5 π}{6} + 2 nπ .

Soluzioni: $x = \frac{π}{2} + 2 nπ$ oppure $x = \frac{5 π}{6} + 2 nπ$ , con $n \in Z$ .

Il coefficiente di $cos x$ è negativo, quindi anche $sin φ$ è negativo e l’angolo aggiunto sta nel quarto quadrante: dal sistema segue $φ = - \frac{π}{6}$ . Poiché $∣ 3 ∣ \leq R = 2$ , l’equazione elementare risultante ha soluzioni. Gli angoli con seno $\frac{3}{2}$ sono $\frac{π}{3}$ e il suo supplementare $\frac{2 π}{3}$ , e si conclude sommando $\frac{π}{6}$ a entrambi. Una verifica: per $x = \frac{5 π}{6}$ si ha $3 \cdot \frac{1}{2} - (- \frac{3}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$ , quindi l’equazione è soddisfatta.