Esercizi svolti · Scheda 5

Disequazioni goniometriche elementari

Teoria usata: Disequazioni elementari Equazioni elementari Valori notevoli

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Esercizio 1

Risolvere su $[0, 2 π)$ la disequazione

sin x > \frac{1}{2} .

L’equazione associata $sin x = \frac{1}{2}$ ha su $[0, 2 π)$ le soluzioni

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6} .

I punti della circonferenza goniometrica con ordinata maggiore di $\frac{1}{2}$ formano l’arco superiore compreso tra i due punti trovati, quindi le soluzioni sono

\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6} .

Soluzione: $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ .

Si risolve prima l’equazione associata, che individua sulla circonferenza i due punti di ordinata esattamente $\frac{1}{2}$ : gli angoli $\frac{π}{6}$ e il suo supplementare $\frac{5 π}{6}$ . Questi due punti dividono la circonferenza in due archi, e la disequazione chiede l’arco con ordinata maggiore di $\frac{1}{2}$ , cioè quello che contiene il punto più alto, di angolo $\frac{π}{2}$ . Gli estremi sono esclusi perché la disuguaglianza è stretta. La soluzione generale su tutto $R$ si otterrebbe aggiungendo $2 nπ$ a entrambi gli estremi.

Esercizio 2

Risolvere su $[0, 2 π)$ la disequazione

cos x \leq \frac{2}{2} .

L’equazione associata $cos x = \frac{2}{2}$ ha su $[0, 2 π)$ le soluzioni

x = \frac{π}{4}, x = \frac{7 π}{4} .

I punti della circonferenza con ascissa minore o uguale a $\frac{2}{2}$ formano l’arco che contiene il punto di angolo $π$ , quindi le soluzioni sono

\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{7 π}{4} .

Soluzione: $\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{7 π}{4}$ .

Per il coseno si guarda l’ascissa dei punti della circonferenza. L’equazione associata individua i due punti di ascissa $\frac{2}{2}$ , agli angoli $\frac{π}{4}$ e $- \frac{π}{4}$ ; su $[0, 2 π)$ il secondo si scrive $\frac{7 π}{4}$ . L’arco richiesto è quello a sinistra della retta verticale di ascissa $\frac{2}{2}$ , cioè l’arco che passa per il punto di angolo $π$ , dove il coseno vale $- 1$ . Gli estremi sono inclusi perché la disuguaglianza è larga.

Esercizio 3

Risolvere su $[0, 2 π)$ la disequazione

2 sin x + 3 < 0.

Si isola il seno:

sin x < - \frac{3}{2} .

L’equazione associata $sin x = - \frac{3}{2}$ ha su $[0, 2 π)$ le soluzioni

x = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3}, x = 2 π - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3} .

I punti della circonferenza con ordinata minore di $- \frac{3}{2}$ formano l’arco inferiore compreso tra i due punti trovati, quindi le soluzioni sono

\frac{4 π}{3} < x < \frac{5 π}{3} .

Soluzione: $\frac{4 π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ .

La disequazione non è ancora elementare, quindi si isola prima il seno portando $3$ a destra e dividendo per $2$ . Gli angoli con seno $- \frac{3}{2}$ si trovano con gli angoli associati a partire da $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ : il seno è negativo nel terzo e nel quarto quadrante, agli angoli $π + \frac{π}{3}$ e $2 π - \frac{π}{3}$ . La disequazione chiede ordinata minore di $- \frac{3}{2}$ , quindi l’arco più basso della circonferenza, quello che contiene il punto di angolo $\frac{3 π}{2}$ , dove il seno vale $- 1$ . Gli estremi sono esclusi per la disuguaglianza stretta.