Esercizi svolti · Scheda 2

Condizioni necessarie e sufficienti

Teoria usata: Implicazione Condizione necessaria e condizione sufficiente

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Esercizio 1

Stabilire se, per $x$ reale, la condizione " $x > 3$ " è necessaria, sufficiente, oppure necessaria e sufficiente per " $x > 1$ ".

x > 3 ⟹ x > 1 vera

x > 1 ⟹ x > 3 falsa: per x = 2 si ha 2 > 1 e 2 \leq 3

La condizione " $x > 3$ " è sufficiente e non necessaria per " $x > 1$ ".

La condizione in esame è sufficiente quando l’implicazione dalla condizione all’obiettivo è vera, ed è necessaria quando è vera l’implicazione nel verso opposto, dall’obiettivo alla condizione.

La prima implicazione è vera: da $x > 3$ e $3 > 1$ segue, per la proprietà transitiva della disuguaglianza, $x > 1$ . Quindi la condizione è sufficiente. La seconda implicazione è falsa, perché $x = 2$ soddisfa $x > 1$ mentre il confronto $2 \leq 3$ nega $x > 3$ ; il valore $x = 2$ è quindi un controesempio. La condizione risulta perciò sufficiente e non necessaria.

Esercizio 2

Stabilire se, per $x$ reale, la condizione " $x^{2} = 9$ " è necessaria, sufficiente, oppure necessaria e sufficiente per " $x = 3$ ".

x = 3 ⟹ x^{2} = 9 vera

x^{2} = 9 ⟹ x = 3 falsa: per x = - 3 si ha (- 3)^{2} = 9 e - 3 \neq = 3

La condizione " $x^{2} = 9$ " è necessaria e non sufficiente per " $x = 3$ ".

Per la necessità si guarda l’implicazione da " $x = 3$ " a " $x^{2} = 9$ ": sostituendo $x = 3$ si ottiene $3^{2} = 9$ , quindi l’implicazione è vera e la condizione è necessaria, perché ogni volta che vale $x = 3$ vale anche $x^{2} = 9$ .

Per la sufficienza si guarda l’implicazione opposta: da $x^{2} = 9$ seguono le due possibilità $x = 3$ e $x = - 3$ , perché l’equazione $x^{2} = 9$ ha due soluzioni reali. Il valore $x = - 3$ soddisfa $x^{2} = 9$ e nega $x = 3$ , quindi l’implicazione è falsa. La condizione risulta perciò necessaria e non sufficiente.

Esercizio 3

Stabilire se, per $x$ reale, la condizione " $x^{3} \geq 8$ " è necessaria, sufficiente, oppure necessaria e sufficiente per " $x \geq 2$ ".

x \geq 2 ⟹ x^{3} \geq 8 vera

x^{3} \geq 8 ⟹ x \geq 2 vera (per contronominale)

x \geq 2 ⟺ x^{3} \geq 8

La condizione " $x^{3} \geq 8$ " è necessaria e sufficiente per " $x \geq 2$ ".

La prima implicazione si dimostra moltiplicando le disuguaglianze: da $x \geq 2$ , con entrambi i membri positivi, segue $x^{2} \geq 4$ e, moltiplicando ancora per $x \geq 2$ , segue $x^{3} \geq 8$ . Quindi la condizione è necessaria, perché è vera ogni volta che $x \geq 2$ è vera.

La seconda implicazione si dimostra per contronominale: da $x < 2$ segue $x^{3} < 8$ . I casi sono due. Se $x \leq 0$ , allora $x^{3} \leq 0 < 8$ , perché il cubo conserva il segno. Se $0 < x < 2$ , moltiplicando $x < 2$ per $x > 0$ si ottiene $x^{2} < 2 x < 4$ e, moltiplicando ancora per $x$ , si ottiene $x^{3} < 4 x < 8$ . In entrambi i casi vale $x^{3} < 8$ , quindi la contronominale è vera e con essa l’implicazione. Le due implicazioni valgono entrambe, perciò le due condizioni sono equivalenti e ciascuna è necessaria e sufficiente per l’altra.