Esercizi svolti · Scheda 5

Disequazioni logaritmiche con base tra 0 e 1

Teoria usata: Disequazioni con la stessa base Disequazione con un numero al secondo membro Funzione logaritmica

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Esercizio 1

Risolvere la disequazione

lo g_{1/2} (x - 1) > 2.

lo g_{1/2} (x - 1) > lo g_{1/2} \frac{1}{4} ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x - 1 < \frac{1}{4} x - 1 > 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x < \frac{5}{4} x > 1 ⟺ 1 < x < \frac{5}{4}

Soluzioni: $1 < x < \frac{5}{4}$ .

Il numero $2$ si scrive $lo g_{1/2} (\frac{1}{2})^{2} = lo g_{1/2} \frac{1}{4}$ , quindi la disequazione confronta due logaritmi in base $\frac{1}{2}$ . La base è compresa tra $0$ e $1$ , perciò la funzione logaritmica è strettamente decrescente e il verso si rovescia nel passaggio agli argomenti. Qui la condizione di esistenza $x - 1 > 0$ va scritta nel sistema, perché la disuguaglianza $x - 1 < \frac{1}{4}$ da sola ammette anche argomenti negativi. L’intersezione delle due condizioni dà l’intervallo $1 < x < \frac{5}{4}$ .

Esercizio 2

Risolvere la disequazione

lo g_{1/3} (x + 2) \leq - 1.

lo g_{1/3} (x + 2) \leq lo g_{1/3} 3 ⟺ {x + 2 \geq 3 x + 2 > 0 ⟺ {x \geq 1 x > - 2 ⟺ x \geq 1

Soluzioni: $x \geq 1$ .

Il numero $- 1$ si scrive $lo g_{1/3} (\frac{1}{3})^{- 1} = lo g_{1/3} 3$ , quindi il confronto è tra due logaritmi in base $\frac{1}{3}$ . La base è compresa tra $0$ e $1$ , perciò il verso si rovescia nel passaggio agli argomenti e il simbolo $\leq$ diventa $\geq$ . La condizione $x + 2 \geq 3$ è più restrittiva della condizione di esistenza $x + 2 > 0$ , quindi le soluzioni sono $x \geq 1$ . Il controllo con $x = 1$ conferma il risultato, perché $lo g_{1/3} 3 = - 1$ e la disuguaglianza con $\leq$ è soddisfatta.

Esercizio 3

Risolvere la disequazione

lo g_{1/2} (2 x - 1) < lo g_{1/2} (x + 3) .

{2 x - 1 > x + 3 x + 3 > 0 ⟺ {x > 4 x > - 3 ⟺ x > 4

Soluzioni: $x > 4$ .

I due membri sono logaritmi nella stessa base $\frac{1}{2}$ , compresa tra $0$ e $1$ , quindi la funzione logaritmica è strettamente decrescente e il verso si rovescia nel passaggio agli argomenti: dal simbolo $<$ tra i logaritmi si passa al simbolo $>$ tra gli argomenti. Nel sistema compare la condizione di esistenza $x + 3 > 0$ , perché la positività di $2 x - 1$ segue da $2 x - 1 > x + 3 > 0$ . La condizione $x > 4$ è più restrittiva di $x > - 3$ , quindi le soluzioni sono $x > 4$ .