Esercizi svolti · Scheda 4

Disequazioni logaritmiche con base maggiore di 1

Teoria usata: Disequazioni con la stessa base Disequazione con un numero al secondo membro Condizioni di esistenza

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Esercizio 1

Risolvere la disequazione

lo g_{2} (x - 3) > 1.

lo g_{2} (x - 3) > lo g_{2} 2 ⟺ {x - 3 > 2 x - 3 > 0 ⟺ {x > 5 x > 3 ⟺ x > 5

Soluzioni: $x > 5$ .

Il numero $1$ si scrive $lo g_{2} 2$ , quindi la disequazione confronta due logaritmi nella stessa base. La base $2$ è maggiore di $1$ , perciò la funzione logaritmica è strettamente crescente e il verso si mantiene nel passaggio agli argomenti; insieme alla condizione di esistenza si ottiene il sistema. La condizione $x - 3 > 2$ è più restrittiva di $x - 3 > 0$ , quindi le soluzioni sono $x > 5$ .

Esercizio 2

Risolvere la disequazione

lo g_{3} (2 x + 1) \leq 2.

lo g_{3} (2 x + 1) \leq lo g_{3} 9 ⟺ {2 x + 1 \leq 9 2 x + 1 > 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x \leq 4 x > - \frac{1}{2} ⟺ - \frac{1}{2} < x \leq 4

Soluzioni: $- \frac{1}{2} < x \leq 4$ .

Il numero $2$ si scrive $lo g_{3} (3^{2}) = lo g_{3} 9$ , quindi la disequazione confronta due logaritmi in base $3$ . La base è maggiore di $1$ , perciò il verso si mantiene nel passaggio agli argomenti; qui la condizione di esistenza $2 x + 1 > 0$ va scritta nel sistema, perché la disuguaglianza $2 x + 1 \leq 9$ da sola non garantisce la positività dell’argomento. L’intersezione delle due condizioni dà l’intervallo $- \frac{1}{2} < x \leq 4$ , con l’estremo destro compreso perché il simbolo della disequazione è $\leq$ .

Esercizio 3

Risolvere la disequazione

lo g_{2} (x + 1) > lo g_{2} (3 - x) .

{x + 1 > 3 - x 3 - x > 0 ⟺ {x > 1 x < 3 ⟺ 1 < x < 3

Soluzioni: $1 < x < 3$ .

I due membri sono logaritmi nella stessa base $2$ , maggiore di $1$ , quindi il verso si mantiene nel passaggio agli argomenti. Nel sistema compare la condizione di esistenza dell’argomento minore, $3 - x > 0$ , perché la positività di $x + 1$ segue da $x + 1 > 3 - x > 0$ . Dalla prima disuguaglianza si ottiene $2 x > 2$ , cioè $x > 1$ ; l’intersezione con $x < 3$ dà l’intervallo $1 < x < 3$ .