Esercizi svolti · Scheda 5

Disequazioni esponenziali con sostituzione

Teoria usata: Metodo di sostituzione Disequazioni con la stessa base

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Esercizio 1

Risolvere la disequazione

4^{x} - 6 \cdot 2^{x} + 8 < 0.

Posto $t = 2^{x}$ , con $t > 0$ , poiché $4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}$ :

t^{2} - 6 t + 8 < 0 ⟺ 2 < t < 4

2^{1} < 2^{x} < 2^{2} ⟺ 1 < x < 2

Soluzioni: $1 < x < 2$ .

La sostituzione $t = 2^{x}$ trasforma la disequazione in $t^{2} - 6 t + 8 < 0$ . Il trinomio ha radici $t = 2$ e $t = 4$ ed è negativo tra le radici, quindi $2 < t < 4$ ; l’intervallo è tutto contenuto in $t > 0$ , perciò nessuna parte va scartata. Tornando alla variabile $x$ , la doppia disuguaglianza $2^{1} < 2^{x} < 2^{2}$ ha base maggiore di $1$ , quindi il verso si mantiene in entrambi i confronti e le soluzioni sono $1 < x < 2$ .

Esercizio 2

Risolvere la disequazione

9^{x} - 2 \cdot 3^{x} - 3 \geq 0.

Posto $t = 3^{x}$ , con $t > 0$ , poiché $9^{x} = (3^{x})^{2} = t^{2}$ :

t^{2} - 2 t - 3 \geq 0 ⟺ t \leq - 1 oppure t \geq 3

L’intersezione con $t > 0$ dà $t \geq 3$ .

3^{x} \geq 3^{1} ⟺ x \geq 1

Soluzioni: $x \geq 1$ .

Con la sostituzione $t = 3^{x}$ la disequazione diventa $t^{2} - 2 t - 3 \geq 0$ ; il trinomio ha radici $t = - 1$ e $t = 3$ ed è non negativo fuori dalle radici. La condizione $t > 0$ esclude tutta la semiretta $t \leq - 1$ , perché una potenza di base positiva non assume valori negativi, quindi resta soltanto $t \geq 3$ . La disequazione $3^{x} \geq 3$ ha base maggiore di $1$ , perciò il verso si mantiene e le soluzioni sono $x \geq 1$ .

Esercizio 3

Risolvere la disequazione

(\frac{1}{4})^{x} - 5 \cdot (\frac{1}{2})^{x} + 4 \leq 0.

Posto $t = (\frac{1}{2})^{x}$ , con $t > 0$ , poiché $(\frac{1}{4})^{x} = t^{2}$ :

t^{2} - 5 t + 4 \leq 0 ⟺ 1 \leq t \leq 4

⎩ ⎨ ⎧ (\frac{1}{2})^{x} \geq 1 = (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{x} \leq 4 = (\frac{1}{2})^{- 2} ⟺ {x \leq 0 x \geq - 2 ⟺ - 2 \leq x \leq 0

Soluzioni: $- 2 \leq x \leq 0$ .

Poiché $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}$ , la sostituzione $t = (\frac{1}{2})^{x}$ trasforma la disequazione in $t^{2} - 5 t + 4 \leq 0$ , soddisfatta tra le radici $t = 1$ e $t = 4$ ; l’intervallo è contenuto in $t > 0$ , quindi è tutto accettabile. La doppia condizione su $t$ va soddisfatta insieme, perciò forma un sistema di due disequazioni esponenziali. La base $\frac{1}{2}$ è compresa tra $0$ e $1$ , quindi in entrambe il verso si rovescia nel passaggio agli esponenti: dalla prima segue $x \leq 0$ , dalla seconda $x \geq - 2$ , e l’intersezione dà $- 2 \leq x \leq 0$ .