Esercizi svolti · Scheda 4

Disequazioni esponenziali con base maggiore di 1 e con base minore di 1

Teoria usata: Disequazioni con la stessa base Funzione esponenziale

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Esercizio 1

Risolvere la disequazione

2^{3 x - 2} > 16.

2^{3 x - 2} > 2^{4} ⟺ 3 x - 2 > 4 ⟺ x > 2

Soluzioni: $x > 2$ .

Il numero $16$ si scrive $2^{4}$ , quindi i due membri sono potenze della stessa base $2$ . La base è maggiore di $1$ , perciò la funzione esponenziale è strettamente crescente e il verso si mantiene nel passaggio agli esponenti: la disequazione equivale a $3 x - 2 > 4$ , da cui $x > 2$ .

Esercizio 2

Risolvere la disequazione

3^{x + 2} \leq \frac{1}{9} .

3^{x + 2} \leq 3^{- 2} ⟺ x + 2 \leq - 2 ⟺ x \leq - 4

Soluzioni: $x \leq - 4$ .

Il numero $\frac{1}{9}$ è una potenza di $3$ con esponente negativo, poiché $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ . La base $3$ è maggiore di $1$ , quindi il verso si mantiene nel passaggio agli esponenti e la disequazione equivale a $x + 2 \leq - 2$ , cioè $x \leq - 4$ . Il controllo con un valore conferma il risultato: per $x = - 4$ il primo membro vale $3^{- 2} = \frac{1}{9}$ , uguale al secondo, e la disuguaglianza con $\leq$ è soddisfatta.

Esercizio 3

Risolvere la disequazione

(\frac{1}{2})^{x - 1} < 8.

8 = 2^{3} = (\frac{1}{2})^{- 3}

(\frac{1}{2})^{x - 1} < (\frac{1}{2})^{- 3} ⟺ x - 1 > - 3 ⟺ x > - 2

Soluzioni: $x > - 2$ .

Il numero $8$ si scrive come potenza della base $\frac{1}{2}$ con esponente negativo, poiché $(\frac{1}{2})^{- 3} = 2^{3} = 8$ . La base $\frac{1}{2}$ è compresa tra $0$ e $1$ , quindi la funzione esponenziale è strettamente decrescente e il verso si rovescia nel passaggio agli esponenti: la disequazione equivale a $x - 1 > - 3$ , da cui $x > - 2$ . Il controllo con $x = 0$ conferma il risultato, perché $(\frac{1}{2})^{- 1} = 2 < 8$ .