Esercizi svolti · Scheda 2

Equazioni della forma |A| = B

Teoria usata: Equazione della forma |A| = B

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

∣ x - 2∣ = 3 x .

Il secondo membro contiene la variabile, quindi l’equazione equivale all’unione di due sistemi:

{3 x \geq 0 x - 2 = 3 x \cup {3 x \geq 0 x - 2 = - 3 x

Primo sistema.

{x \geq 0 - 2 x = 2 {x \geq 0 x = - 1

Il sistema non ha soluzioni.

Secondo sistema.

{x \geq 0 4 x = 2 ⎩ ⎨ ⎧ x \geq 0 x = \frac{1}{2}

La soluzione è $x = \frac{1}{2}$ .

Il primo membro è un valore assoluto e non è mai negativo, quindi anche il secondo membro deve soddisfare $3 x \geq 0$ : questa condizione entra in entrambi i sistemi. Nel primo sistema l’equazione dà $x = - 1$ , che è negativo, perciò la condizione $x \geq 0$ non è soddisfatta e il valore si scarta. Nel secondo sistema l’equazione dà $x = \frac{1}{2}$ , che è positivo, perciò la condizione è soddisfatta. Il controllo per sostituzione conferma il risultato: $\frac{1}{2} - 2 = \frac{3}{2}$ e $3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .

Esercizio 2

Risolvere l’equazione

∣2 x + 1∣ = x + 4.

{x + 4 \geq 0 2 x + 1 = x + 4 \cup {x + 4 \geq 0 2 x + 1 = - (x + 4)

Primo sistema.

{x \geq - 4 x = 3

La soluzione $x = 3$ è accettabile.

Secondo sistema.

{x \geq - 4 3 x = - 5 ⎩ ⎨ ⎧ x \geq - 4 x = - \frac{5}{3}

La soluzione $x = - \frac{5}{3}$ è accettabile.

Le soluzioni sono $x = - \frac{5}{3}$ e $x = 3$ .

La condizione di accettabilità è $x + 4 \geq 0$ , cioè $x \geq - 4$ , e vale per entrambi i sistemi. Il primo sistema dà $x = 3$ e il secondo dà $x = - \frac{5}{3}$ ; entrambi i valori sono maggiori di $- 4$ , quindi nessuno dei due si scarta. Il controllo per sostituzione conferma il risultato: per $x = 3$ si ha $∣7∣ = 7 = 3 + 4$ , e per $x = - \frac{5}{3}$ si ha $- \frac{7}{3} = \frac{7}{3} = - \frac{5}{3} + 4$ .

Esercizio 3

Risolvere l’equazione

∣ x^{2} - 1∣ = x + 1.

{x + 1 \geq 0 x^{2} - 1 = x + 1 \cup {x + 1 \geq 0 x^{2} - 1 = - (x + 1)

Primo sistema.

{x \geq - 1 x^{2} - x - 2 = 0 {x \geq - 1 (x - 2) (x + 1) = 0

Le radici $x = 2$ e $x = - 1$ soddisfano entrambe la condizione $x \geq - 1$ .

Secondo sistema.

{x \geq - 1 x^{2} + x = 0 {x \geq - 1 x (x + 1) = 0

Le radici $x = 0$ e $x = - 1$ soddisfano entrambe la condizione $x \geq - 1$ .

Le soluzioni sono $x = - 1$ , $x = 0$ e $x = 2$ .

L’argomento del modulo è di secondo grado, quindi ciascun sistema contiene un’equazione di secondo grado. Nel primo sistema l’equazione $x^{2} - x - 2 = 0$ si scompone in $(x - 2) (x + 1) = 0$ ; nel secondo l’equazione $x^{2} + x = 0$ si scompone raccogliendo $x$ . Tutte le radici trovate soddisfano la condizione $x \geq - 1$ , e il valore $x = - 1$ compare in entrambi i sistemi, ma nell’unione si conta una volta sola. Il controllo per sostituzione conferma il risultato: per $x = - 1$ entrambi i membri valgono $0$ , per $x = 0$ valgono $1$ , per $x = 2$ valgono $3$ .