Esercizi svolti · Scheda 4

Dimostrazioni per assurdo

Teoria usata: Dimostrazione per assurdo Negazione dei quantificatori

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Esercizio 1

Dimostrare che la somma di un numero razionale e di un numero irrazionale è irrazionale.

Per assurdo, siano $r$ razionale, $s$ irrazionale e $r + s = q$ con $q$ razionale.

r + s = q ⟹ s = q - r

q = \frac{a}{b}, r = \frac{c}{d} ⟹ s = \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a d - b c}{b d}

Il numero $s$ risulta razionale, in contraddizione con l’ipotesi. Quindi $r + s$ è irrazionale.

La tesi afferma che la somma è irrazionale, quindi la dimostrazione per assurdo parte dalla sua negazione: la somma $r + s$ è un numero razionale $q$ . Sottraendo $r$ da entrambi i membri si isola $s = q - r$ .

I numeri $q$ e $r$ sono razionali per assunzione e per ipotesi, quindi si scrivono come frazioni $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$ con $a$ , $b$ , $c$ , $d$ interi e $b, d \neq = 0$ . La differenza si calcola con il denominatore comune $b d$ : il numeratore $a d - b c$ è un intero e il denominatore $b d$ è un intero diverso da zero, perciò $s$ è un quoziente di interi, cioè un numero razionale. Questo contraddice l’ipotesi che $s$ sia irrazionale, quindi l’assunzione era falsa e la somma $r + s$ è irrazionale.

Esercizio 2

Dimostrare che non esiste un numero razionale positivo minore di tutti gli altri numeri razionali positivi.

Per assurdo, sia $q$ razionale, $q > 0$ , minore o uguale a ogni razionale positivo.

q > 0 ⟹ \frac{q}{2} > 0

\frac{q}{2} < q perch \overset{e}{ˊ} q - \frac{q}{2} = \frac{q}{2} > 0

Il numero $\frac{q}{2}$ è razionale, positivo e minore di $q$ , in contraddizione con la minimalità di $q$ . Quindi un tale $q$ non esiste.

La tesi nega un’esistenza, quindi per assurdo si assume l’esistenza: un razionale positivo $q$ minore o uguale a ogni altro razionale positivo. La strategia è esibire un razionale positivo ancora più piccolo.

Il candidato è la metà di $q$ . Il numero $\frac{q}{2}$ è razionale, perché quoziente del razionale $q$ per l’intero $2$ , ed è positivo, perché metà di un numero positivo. Inoltre la differenza $q - \frac{q}{2}$ vale $\frac{q}{2}$ , che è positiva, quindi $\frac{q}{2} < q$ . Il numero $\frac{q}{2}$ è dunque un razionale positivo minore di $q$ , e questo contraddice l’assunzione che $q$ fosse il minimo. L’assunzione è quindi falsa, perciò il minimo razionale positivo non esiste.

Esercizio 3

Dimostrare che $3$ è irrazionale.

Per assurdo, sia $3 = \frac{m}{n}$ con $m$ , $n$ interi positivi senza fattori comuni.

3 = \frac{m}{n} ⟹ 3 = \frac{m ^{2}}{n ^{2}} ⟹ m^{2} = 3 n^{2}

Se $m$ ha resto diverso da zero nella divisione per $3$ :

(3 k + 1)^{2} = 3 (3 k^{2} + 2 k) + 1, (3 k + 2)^{2} = 3 (3 k^{2} + 4 k + 1) + 1

Quindi $m = 3 h$ con $h$ intero:

9 h^{2} = 3 n^{2} ⟹ n^{2} = 3 h^{2}

Anche $n$ è multiplo di $3$ : contraddizione, perché $m$ e $n$ avrebbero il fattore comune $3$ . Quindi $3$ è irrazionale.

L’assunzione per assurdo è che $3$ sia razionale; la frazione si può sempre ridurre ai minimi termini, quindi $m$ e $n$ si scelgono senza fattori comuni. Elevando al quadrato entrambi i membri e moltiplicando per $n^{2}$ si ottiene $m^{2} = 3 n^{2}$ , perciò $m^{2}$ è multiplo di $3$ .

Da qui si deduce che $m$ stesso è multiplo di $3$ . Se $m$ avesse resto $1$ o resto $2$ nella divisione per $3$ , cioè $m = 3 k + 1$ oppure $m = 3 k + 2$ , lo sviluppo del quadrato mostrerebbe che $m^{2}$ ha resto $1$ in entrambi i casi, mentre $m^{2}$ è multiplo di $3$ ; quindi il resto di $m$ è zero e $m = 3 h$ .

Sostituendo $m = 3 h$ nell’uguaglianza $m^{2} = 3 n^{2}$ si ottiene $9 h^{2} = 3 n^{2}$ e, dividendo per $3$ , $n^{2} = 3 h^{2}$ . Lo stesso argomento applicato a $n$ mostra che anche $n$ è multiplo di $3$ . Allora $m$ e $n$ hanno il fattore comune $3$ , mentre la frazione era stata ridotta ai minimi termini: l’assunzione porta a una contraddizione, perciò $3$ è irrazionale.