Esercizi svolti · Scheda 1

Equazioni con un logaritmo per membro

Teoria usata: Uguaglianza di logaritmi con la stessa base Condizioni di esistenza

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

Risolvere l’equazione

lo g_{2} (x - 1) = lo g_{2} (7 - x) .

Condizioni di esistenza:

{x - 1 > 0 7 - x > 0 ⟺ {x > 1 x < 7 ⟺ 1 < x < 7

x - 1 = 7 - x ⟺ 2 x = 8 ⟺ x = 4

Il valore $x = 4$ soddisfa le condizioni di esistenza.

Soluzione: $x = 4$ .

Gli argomenti dei due logaritmi contengono l’incognita, quindi prima di risolvere si impone che siano entrambi positivi; le due condizioni vanno soddisfatte insieme e formano il sistema, che dà $1 < x < 7$ . I due membri sono logaritmi nella stessa base e la funzione logaritmica è iniettiva, perciò l’equazione equivale all’uguaglianza degli argomenti $x - 1 = 7 - x$ , da cui $x = 4$ . Poiché $4$ appartiene all’intervallo $(1, 7)$ , le condizioni di esistenza sono soddisfatte e $x = 4$ è la soluzione.

Esercizio 2

Risolvere l’equazione

lo g_{3} (2 x + 1) = lo g_{3} (x + 4) .

Condizioni di esistenza:

{2 x + 1 > 0 x + 4 > 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > - \frac{1}{2} x > - 4 ⟺ x > - \frac{1}{2}

2 x + 1 = x + 4 ⟺ x = 3

Il valore $x = 3$ soddisfa le condizioni di esistenza.

Soluzione: $x = 3$ .

Il sistema delle condizioni di esistenza richiede che entrambi gli argomenti siano positivi; la condizione più restrittiva è $x > - \frac{1}{2}$ , quindi il sistema equivale a questa sola disuguaglianza. Per l’iniettività della funzione logaritmica l’equazione equivale all’uguaglianza degli argomenti, un’equazione di primo grado con soluzione $x = 3$ . Poiché $3 > - \frac{1}{2}$ , la soluzione è accettabile.

Esercizio 3

Risolvere l’equazione

lo g_{5} (x^{2} - 3) = lo g_{5} (2 x) .

Condizioni di esistenza:

{x^{2} - 3 > 0 2 x > 0 ⟺ {x < - 3 oppure x > 3 x > 0 ⟺ x > 3

x^{2} - 3 = 2 x ⟺ x^{2} - 2 x - 3 = 0 ⟺ x = 3 oppure x = - 1

Il valore $x = 3$ soddisfa le condizioni di esistenza; il valore $x = - 1$ non le soddisfa e va scartato.

Soluzione: $x = 3$ .

La prima condizione del sistema è una disequazione di secondo grado: il trinomio $x^{2} - 3$ è positivo fuori dalle radici $\pm 3$ . L’intersezione con $2 x > 0$ , cioè $x > 0$ , lascia soltanto $x > 3$ . L’uguaglianza degli argomenti dà l’equazione di secondo grado $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ , con soluzioni $x = 3$ e $x = - 1$ . Poiché $3 > 3$ , il valore $x = 3$ è accettabile; per $x = - 1$ l’argomento $2 x = - 2$ è negativo, quindi il logaritmo al secondo membro non esiste e la soluzione va scartata.