Esercizi svolti · Scheda 5

Riconoscimento di coniche e riduzione a forma canonica

Teoria usata: Riconoscere una conica dall'equazione Procedimento per ridurre e disegnare Completamento del quadrato Ellisse in forma canonica Iperbole in forma canonica Parabola y = ax² + bx + c

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Esercizio 1

Riconoscere e ridurre a forma canonica la conica

4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x + 36 y + 4 = 0.

I coefficienti dei termini quadratici sono $4$ e $9$ : stesso segno e valori diversi, quindi l’equazione rappresenta un’ellisse. Si raccoglie e si completano i quadrati:

4 (x^{2} - 2 x) + 9 (y^{2} + 4 y) + 4 4 (x - 1)^{2} - 4 + 9 (y + 2)^{2} - 36 + 4 4 (x - 1)^{2} + 9 (y + 2)^{2} = 0 = 0 = 36.

Dividendo per $36$ :

\frac{( x - 1 ) ^{2}}{9} + \frac{( y + 2 ) ^{2}}{4} = 1.

Risultato: ellisse di centro $(1, - 2)$ , semiassi $3$ lungo $x$ e $2$ lungo $y$ , vertici $(4, - 2)$ , $(- 2, - 2)$ , $(1, 0)$ e $(1, - 4)$ ; da $c^{2} = 9 - 4 = 5$ i fuochi sono $(1 \pm 5, - 2)$ .

Il tipo di conica si riconosce prima di ogni calcolo dai coefficienti di $x^{2}$ e $y^{2}$ . Il raccoglimento di $4$ e di $9$ prepara il completamento: il gruppo $x^{2} - 2 x$ si completa aggiungendo e togliendo $1$ , e il $- 1$ moltiplicato per il $4$ raccolto produce il $- 4$ esterno; lo stesso accade per il gruppo in $y$ , con il $- 4$ interno che diventa $- 36$ . La divisione finale per $36$ porta l’equazione nella forma canonica traslata, dalla quale si leggono centro e semiassi. Il semiasse maggiore è orizzontale, poiché $9 > 4$ , quindi i fuochi stanno sulla retta $y = - 2$ a distanza $5$ dal centro.

Esercizio 2

Riconoscere e ridurre a forma canonica la conica

x^{2} - 4 y^{2} - 2 x - 8 y - 7 = 0.

I coefficienti dei termini quadratici sono $1$ e $- 4$ : segni opposti, quindi l’equazione rappresenta un’iperbole. Si raccoglie e si completano i quadrati:

(x^{2} - 2 x) - 4 (y^{2} + 2 y) - 7 (x - 1)^{2} - 1 - 4 (y + 1)^{2} + 4 - 7 (x - 1)^{2} - 4 (y + 1)^{2} = 0 = 0 = 4.

Dividendo per $4$ :

\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} - (y + 1)^{2} = 1.

Risultato: iperbole di centro $(1, - 1)$ con $a = 2$ e $b = 1$ , vertici $(3, - 1)$ e $(- 1, - 1)$ , asintoti $y + 1 = \pm \frac{1}{2} (x - 1)$ ; da $c^{2} = 4 + 1 = 5$ i fuochi sono $(1 \pm 5, - 1)$ .

I segni opposti dei coefficienti quadratici individuano subito un’iperbole. Nel raccoglimento del $- 4$ il termine $- 8 y$ diventa $+ 2 y$ nel gruppo raccolto, perché $- 8 y = - 4 \cdot 2 y$ ; il completamento di $y^{2} + 2 y$ aggiunge e toglie $1$ , e il $- 1$ interno moltiplicato per $- 4$ produce il $+ 4$ esterno. Dopo la divisione per $4$ il termine positivo è quello in $x$ , quindi i rami si aprono a destra e a sinistra del centro $(1, - 1)$ e i vertici distano $a = 2$ dal centro lungo la direzione orizzontale. Gli asintoti sono le rette per il centro di pendenza $\pm \frac{b}{a} = \pm \frac{1}{2}$ , e si tracciano come diagonali del rettangolo di centro $(1, - 1)$ e lati $2 a = 4$ e $2 b = 2$ .

Esercizio 3

Riconoscere la conica

x^{2} + 4 x - y + 5 = 0

e disegnarla.

Compare $x^{2}$ ma non $y^{2}$ , e la $y$ è di primo grado, quindi l’equazione rappresenta una parabola. Si isola la $y$ :

y = x^{2} + 4 x + 5.

Il vertice ha coordinate

x_{V} = - \frac{4}{2} = - 2, y_{V} = 4 - 8 + 5 = 1,

la concavità è verso l’alto poiché $a = 1 > 0$ , il discriminante è $Δ = 16 - 20 = - 4 < 0$ , quindi il grafico non interseca l’asse $x$ ; l’intersezione con l’asse $y$ è $(0, 5)$ .

y = x² + 4x + 5 con il vertice V(−2, 1)

Risultato: parabola di vertice $V (- 2, 1)$ , asse $x = - 2$ , concavità verso l’alto, intersezione $(0, 5)$ con l’asse $y$ .

Dei due termini quadratici ne compare uno solo, e la variabile rimasta al primo grado si può isolare: la conica è una parabola con asse verticale. Una volta scritta l’equazione nella forma $y = a x^{2} + b x + c$ , lo studio è quello consueto della parabola: vertice con la formula dell’ascissa, concavità dal segno di $a$ , intersezioni con gli assi dal discriminante e dal termine noto. Il punto $(- 4, 5)$ , simmetrico di $(0, 5)$ rispetto all’asse $x = - 2$ , dà un ulteriore punto per il disegno.